Силлогистика

Electronic philosophical encyclopedia article
share the uri

Силлогистика: определение

Силлогистика (от греч. συλλογιστικός – умозаключающий), раздел дедуктивной логики, исследующий логические характеристики атрибутивных высказываний и логические отношения между ними.

Язык силлогистики. Виды силлогистических теорий

Основная задача силлогистики – выделение форм корректных умозаключений, посылками и заключениями которых являются атрибутивные высказывания. Атрибутивными называют высказывания о наличии или отсутствии некоторого свойства у отдельного предмета или предметов некоторого множества. Термин, представляющий предмет или множество предметов, которым предицируется свойство, называется субъектом атрибутивного высказывания, а термин, представляющий свойство (или класс предметов, им обладающих), – его предикатом. По количеству атрибутивные высказывания делятся на единичные, в которых признак предицируется отдельному предмету и субъектом которых является сингулярный термин, и множественные, в которых утверждение относится к предметам некоторого класса, а субъект является общим термином, репрезентирующим данный класс. Среди множественных высказываний выделяют общие (содержащие квантор общности) и частные (содержащие квантор существования). По качеству эти высказывания делятся на утвердительные, указывающие на наличие свойства (в них присутствует утвердительная внутренняя связка «есть»), и отрицательные, указывающие на отсутствие свойства у предметов (в них присутствует отрицательная внутренняя связка «не есть»). По модальности атрибутивные высказывания делятся на ассерторические, фиксирующие лишь сам факт присущности или не присущности свойства, и модальные, где дается дополнительная квалификация этому факту как необходимому, возможному или случайному. Атрибутивные ассерторические высказывания называют категорическими.

Силлогистика сформировалась как совокупность различных логических систем (теорий). Сами эти теории также часто называют силлогистиками. Они различаются, во-первых, выразительными возможностями их языков в зависимости от того, атрибутивные высказывания каких типов имеют формальные аналоги в языке системы, а также в зависимости от того, какого типа термины могут являться субъектами и предикатами этих высказываний. Во-вторых, даже в рамках одного формального языка могут быть построены силлогистические теории с разными классами законов и правил, что во многих случаях обусловлено различием в трактовках логических содержаний атрибутивных высказываний, в принимаемых условиях их истинности и ложности.

Можно выделить два типа силлогистических теорий: ассерторическую и модальную силлогистику. Ассерторическая силлогистика представляет собой совокупность теорий вывода из ассерторических, немодальных высказываний. В языке модальной силлогистики содержатся логические формы как ассерторических, так и модальных высказываний.

Системы силлогистики, в языке которых на места субъектов и предикатов категорических высказываний допускаются только общие термины, образуют чистую силлогистику. Теории вывода из категорических высказываний, в составе которых имеются как общие, так и сингулярные термины, образуют сингулярную силлогистику.

Еще одна типологизация силлогистических теорий связана с глубиной анализа структуры общих терминов в формальном языке. Принято различать позитивную, негативную и расширенную силлогистики. Это деление связано с тем, что общие термины могут быть как простыми (не содержать в своем составе других терминов), так и сложными (образовываться из простых с помощью терминообразующих операторов – знаков теоретико-множественных булевых операций). В системах позитивной силлогистики не учитывается внутренняя структура субъектов и предикатов, и в их языке нет терминообразующих операторов. В языке негативных силлогистических теорий содержится один такой оператор – терминное отрицание (знак операции дополнения к множеству), соответственно, здесь различаются два типа терминов – положительные и отрицательные. Язык расширенной силлогистики содержит еще два терминообразующих оператора – терминные конъюнкцию и дизъюнкцию (знаки операций пересечения и объединения множеств).

Thom P. The Syllogism. München, 1981.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М., 1991.

Возникновение и развитие силлогистики в античности и средневековье

Чистая позитивная силлогистика была подробно сформулирована Аристотелем в первой книге “Первой Аналитики”. Наряду с ассерторическими высказываниями Аристотель включил в силлогистический язык и модальные: аподиктические и проблематические высказывания двух типов. Силлогистика строилась им как чисто дедуктивная система, близкая по стилю современным натуральным исчислениям: изначально постулировался некоторый минимум способов корректных рассуждений (совершенные силлогизмы I фигуры, принципы обращения, законы противоречия), и с их помощью демонстрировалась корректность правильных силлогизмов II и III фигур.

Модальный фрагмент силлогистики Аристотеля был поставлен под сомнение уже непосредственными учениками Аристотеля Теофрастом и Эвдемом. Комментаторы Стагирита обращали внимание на то, что этот фрагмент содержит несовместимые, с их точки зрения, дедуктивные постулаты, например, принципы обращения аподиктических высказываний и модусы I фигуры с большей аподиктической, меньшей ассерторической посылками и аподиктическим заключением. Альтернативный вариант модальной силлогистики, разработанный в средневековой логике, был основан на различении модальностей двух видов – de dicto (особые пропозициональные связки) и de re (внутренние, предицирующие связки).

Главное внимание античные и средневековые последователи Аристотеля уделяли детализации и совершенствованию его ассерторической силлогистики, вводя в неё важные поправки и дополнения. У Александра Афродизийского встречается первое явное упоминание о законе силлогистического тождества «Все S есть S». Галену приписывается открытие IV фигуры силлогизма. Филопон использовал круговые схемы для изображения отношений между терминами в категорических высказываниях, что позволило в дальнейшем осуществить семантическое представление силлогистики. Боэций ввел в обиход употребляемые и поныне обозначения для четырех типов категорических высказываний, где используются гласные буквы латинских слов affirmo («утверждаю») и nego («отрицаю»): a – для общеутвердительных («Все S есть P»), i – для частноутвердительных («Некоторые S есть P»), e – для общеотрицательных («Ни один S не есть P»), o – для частноотрицательных («Некоторые S не есть P»). В работах Уильяма Шервуда и Петра Испанского всем правильным модусам категорического силлогизма были даны латинские названия (Barbara, Celarent и т.д.). Первый из них ввел в обращение логический квадрат, фиксирующий отношения между категорическими высказываниями четырех типов с одинаковыми субъектами и одинаковыми предикатами.

Негативная силлогистика была систематически исследована в Средние века, хотя отдельные относящиеся к ней корректные умозаключения были выделены Теофрастом, Апулеем из Мадаура и др. Сингулярная силлогистика (как позитивная, так и негативная) рассматривалась в рамках традиционной логики, причем единичные высказывания трактовались как разновидность общих. Исследование расширенной силлогистики в античности и средневековье носило фрагментарный характер, впервые систематически оно было предпринято одним из основоположников современной логики А. де Морганом.

Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля. М., 1960.

Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М., 1984.

Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения. М., 1974.

Традиционная силлогистика

В эпоху Нового времени окончательно сформировался традиционный вариант ассерторической силлогистики, который вошел в состав университетских курсов и учебников по формальной логике в качестве центрального раздела.

Традиционная силлогистика – это теория выводов из высказываний видов «Все S есть P» (символически: SaP), «Некоторые S есть P» (SiP), «Ни один S не есть P» (SeP) и «Некоторые S не есть P» (SoP). Единичные высказывания трактуются в ней как разновидность общих того же качества, а сингулярные термины разрешается использовать не только на месте субъекта, но и на месте предиката. В качестве субъектов и предикатов допускаются как положительные, так и отрицательные термины. Важной семантической особенностью этой теории является исходная предпосылка о непустоте субъектов и предикатов всех категорических высказываний. Этим обусловлена логическая истинность высказываний формы «Некоторые S есть S» (SiS) – закона силлогистического тождества для частноутвердительных высказываний. Другой вариант данного закона – «Все S есть S» (SaS) – также имеет место в этой теории.

Среди умозаключений, исследуемых в рамках традиционной силлогистики, выделяются непосредственные (однопосылочные) и опосредованные (выводы из двух или более посылок).

К непосредственным относятся выводы по логическому квадрату и умозаключения посредством преобразования структуры посылки.

Выводы по логическому квадрату основаны на логических отношениях между категорическими высказываниями с одинаковыми субъектами и предикатами. Поскольку высказывания видов SaP и SoP, а также SiP и SeP противоречат друг другу, постольку из одного выводимо отрицание другого, а из отрицания одного из них – другое, например, SaP  ¬SoP и ¬SaP SoP. В силу того, что высказывания видов SaP и SeP находятся в отношении противоположности (несовместимы по истинности, но совместимы по ложности) из одного выводимо отрицание другого, но из отрицания какого-либо из них не выводимо другое высказывание, например: SaP ¬SeP и ¬SaP SeP. Высказывания форм SiP и SoP находятся в отношении подпротивоположности (совместимы по истинности, но несовместимы по ложности), поэтому, например: ¬SiP SoP и SiP ¬SoP. Высказывание вида SiP подчиняется высказыванию вида SaP, а SoP подчиняется SeP, следовательно, частное высказывание выводимо из общего с тем же качеством, но не наоборот, например: SaP  SiP, но SiP  SaP.

Разновидностями умозаключений посредством преобразования структуры посылки обычно считают обращение, превращение, противопоставление субъекту и противопоставление предикату. Обращение – это один из способов рассуждений позитивной силлогистики, а три остальные вида относятся к негативной силлогистике.

Обращением называют умозаключение, в котором субъект заключения является предикатом посылки, а предикат заключения – субъектом посылки. Различают чистое обращение (при выведении заключения из посылки не меняется количество и качество высказывания) и обращение с ограничением (качество не меняется, но меняется количество высказывания, а именно, при общей посылке заключение частное). Для общеутвердительных высказываний чистое обращение некорректно, корректно лишь обращение с ограничением: SaP PaS, но SaP PiS. Для общеотрицательных высказываний справедливы оба типа обращения: SeP PeS, и SeP PoS. Для частноутвердительных высказываний имеет место чистое обращение: SiP PiS. Корректное обращение частноотрицательных высказываний невозможно.

Превращением называют умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с субъектом посылки, а предикат заключения противоречит предикату посылки (т.е. предикат заключения получается за счет присоединения терминного отрицания к предикату посылки). Для обеспечения корректности данной операции требуется изменить качество высказывания при переходе от посылки к заключению, например, SaP Se~P (где ~ – терминное отрицание).

Противопоставление субъекту – это умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с предикатом посылки, а предикат заключения противоречит субъекту посылки. Противопоставление предикату – умозаключение, в котором субъект заключения противоречит предикату посылки, а предикат заключения совпадает с субъектом посылки. Для корректного осуществления противопоставления субъекту необходимо осуществить сначала обращение посылки, а затем превращение полученного суждения. Корректное противопоставление предикату осуществляется с использованием тех же операций, но в обратном порядке: сначала превращение, а затем обращение. Например, в результате противопоставления субъекту из высказывания вида SaP получаем Po~S (SaP обращается в PiS, а PiS превращается в Po~S). Результатом противопоставления предикату высказывания вида SaP будет ~PeS (SaP превращается в Se~P, а оно обращается в ~PeS).

Среди опосредованных умозаключений наиболее фундаментальный статус имеет простой категорический силлогизм – двухпосылочное умозаключение, состоящее из категорических высказываний, в котором вывод об отношении между двумя терминами делается на основании отношения каждого из них к третьему термину.

В простом категорическом силлогизме содержатся три термина: термин, входящий в обе посылки и отсутствующий в заключении, называют средним; два других термина, каждый из которых входит в одну из посылок и в заключение, называют крайними, при этом субъект заключения называется меньшим, а его предикат – бóльшим термином. Посылку, содержащую больший термин, называют большей, а содержащую меньший термин – меньшей.

Каждый силлогизм в зависимости от расположения среднего термина в посылках относят к одной из четырех фигур: в силлогизмах первой фигуры средний термин является субъектом большей и предикатом меньшей посылки, второй фигуры – предикатом обеих посылок, третьей фигуры – субъектом обеих посылок, четвертой фигуры – предикатом большей и субъектом меньшей посылки.

Модус силлогизма определяется типами высказываний (посылок и заключения), входящих в его состав. У каждой фигуры имеется 64 модуса силлогизма, а общее число форм простых категорических силлогизмов равно 256. Из них всего 24 представляют собой правильные способы рассуждения.

Существуют несколько методов проверки силлогизмов. Аристотель и его средневековые последователи постулировали логическую корректность модусов первой фигуры, правильные модусы других фигур обосновывались посредством сведéния к модусам первой фигуры с использованием процедур обращения высказываний, перестановки посылок, законов логического квадрата и рассуждения от противного.

Семантическая проверка силлогизмов осуществляется с помощью объемных круговых диаграмм Эйлера-Жергонна (данный метод был систематически развит Дж. Венном). На диаграмме фиксируются возможные объемные отношения между большим и средним, а также меньшим и средним терминами силлогизма, при которых обе посылки являются истинными. Силлогизм корректен, если и только если данная диаграмма гарантирует истинность его заключения, то есть оно не может оказаться ложным ни при каком отношении между крайними терминами, соответствующими этой диаграмме.

В традиционной логике были сформулированы общие правила силлогизма. Одна из систем этих правил включает следующие требования: 1) средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок (субъекты распределены в общих высказываниях, а предикаты – в отрицательных); 2) крайний термин, не распределенный в посылке, не должен быть распределен и в заключении; 3) по крайней мере одна из посылок должна быть утвердительной; 4) если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным; 5) если обе посылки утвердительные, то и заключение должно быть утвердительным. Если силлогизм удовлетворяет всем пяти требованиям, он корректен; если же хотя бы одно из правил нарушается, силлогизм некорректен.

Для отбрасывания некорректных силлогизмов полезно также знание свойств правильных модусов различных фигур: в правильных силлогизмах I фигуры большая посылка является общей, а меньшая утвердительной; во II фигуре большая посылка общая, одна из посылок отрицательная; в III фигуре меньшая посылка является утвердительной, а заключение частным.

Среди правильных силлогизмов различают совершенные и несовершенные. Совершенными называют силлогизмы, заключение которых является наиболее сильным следствием из посылок. К ним относят, во-первых, все правильные силлогизмы с общим заключением, а также все те правильные силлогизмы, в которых заключение частное, а общее заключение не следует логически из их посылок. Если же в правильном силлогизме не только частное, но и общее заключение следует из данных посылок, то этот силлогизм считают несовершенным (поскольку частное суждение подчиняется общему, т.е. является более слабым следствием). Всего имеется 19 модусов совершенных и 5 модусов несовершенных силлогизмов.

В I фигуре четыре модуса являются формами совершенных силлогизмов:

MaP, SaM SaP (Barbara),

MeP, SaM SeP (Celarent),

MaP, SiM SiP (Darii),

MeP, SiM SoP (Ferio),

а два модуса – формами несовершенных силлогизмов:

MaP, SaM SiP (Barbari),

MeP, SaM SoP (Celaront).

Во II фигуре также четыре модуса являются формами совершенных силлогизмов:

PaM, SoM SoP (Baroko),

PeM, SaM SeP (Cesare),

PaM, SeM SeP (Camestres),

PeM, SiM SoP (Festino),

а два модуса – формами несовершенных силлогизмов:

PeM, SaM SoP (Cesaro),

PaM, SeM SoP (Camestrop).

В III фигуре все шесть правильных модусов – формы совершенных силлогизмов:

MoP, MaS SoP (Bokardo),

MaP, MaS SiP (Darapti),

MaP, MiS SiP (Datisi),

MiP, MaS SiP (Disamis),

MeP, MaS SoP (Felapton),

MeP, MiS SoP (Ferison).

В IV фигуре пять модусов являются формами совершенных силлогизмов:

PaM, MaS SiP (Bramantip),

PaM, MeS SeP (Camenes),

PiM, MaS SiP (Dimaris),

PeM, MaS SoP (Fesapo),

PeM, MiS SoP (Fresison)

и один модус – формой несовершенного силлогизма:

PaM, MeS SoP (Camenop).

В традиционной логике исследовались и другие виды силлогистических рассуждений – энтимема, сорит, полисиллогизм, эпихейрема. Их трактовали как сокращенные, сложные или сложно-сокращенные силлогизмы.

Энтимема – это сокращенный силлогизм, то есть простой категорический силлогизм, в котором опущена какая-либо из посылок или заключение. Энтимемы широко распространены в познавательной практике и в аргументативных процедурах. Нередко в естественных рассуждениях некоторые из используемых аргументов лишь подразумеваются, но не формулируются явным образом, что объясняется стремлением сделать рассуждение более компактным и не загромождать его упоминанием общеизвестных истин. В практике аргументации используется прием, когда пропонент, изложив свои доводы, не выводит из них тезис самостоятельно, предлагая сделать это оппоненту или публике и подчеркивая тем самым очевидность тезиса.

Полисиллогизм (сложный силлогизм) – это рассуждение, включающее несколько силлогизмов, причем заключения одних силлогизмов могут выступать в качестве посылок в других.

Сорит представляет собой сокращенный полисиллогизм, в котором опускаются заключения всех силлогизмов, кроме самого последнего.

Другой разновидностью сложно-сокращенных силлогизмов является эпихейрема. Это рассуждение, которое в качестве последнего умозаключения содержит силлогизм, причем каждая из посылок данного силлогизма обосновывается посредством энтимемы.

Venn J. Symbolic Logic. London, 1881.

Асмус В.Ф. Логика. М., 1947.

Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М., 1984.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Челпанов Г.И. Учебник логики (для гимназий и самообразования). М., 1911.

Фундаментальная силлогистика

Начиная с середины XIX в. в логике начинают активно использоваться строгие алгебраические методы (Дж. Буль, А. де Морган, Э. Шредер, Дж. Венн и др.), идея применения таких методов к исследованию рассуждений высказывалась еще Г.В. Лейбницем. Эти разработки затронули в том числе и сферу силлогистических выводов. Для адекватного анализа последних потребовалось точное представление форм категорических высказываний в языке алгебры множеств. Наибольшее распространение получила следующая трактовка: высказывание формы SaP интерпретировалось как утверждение о пустоте пересечения объемов S и ~P; SeP – как утверждение о пустоте пересечения объемов S и P; SiP – как утверждение о непустоте пересечения объемов S и P; SoP – как утверждение о непустоте пересечения объемов S и ~P. Такое понимание смыслов категорических высказываний в явном виде формулировалось, например, Ф. Брентано. Указанная интерпретация категорических высказываний может быть эквивалентным образом выражена в терминах отношения теоретико-множественного включения: SaP означает, что объем S включается в объем P; SeP означает, что объем S включается в объем ~P; SiP означает, что объем S не включается в объем ~P; SoP означает, что объем S не включается в объем P.

В отличие от традиционной силлогистики допускалось, что общие термины могут репрезентировать как непустые множества, так и пустое множество. Поэтому при указанной интерпретации категорических высказываний общие высказывания с пустым субъектом всегда истинны, а частные высказывания с пустым субъектом всегда ложны. Средствами алгебры множеств данный подход позволяет обосновать многие законы и правила традиционной силлогистики: закон силлогистического тождества SaS, 15 модусов простого категорического силлогизма, правила чистого обращения для высказываний типов i и e, все правила превращения, законы диагоналей логического квадрата и др. Однако многие принципы традиционной силлогистики теряют статус законов и форм корректных рассуждений: закон силлогистического тождества SiS, 9 модусов силлогизма с общими посылками и частным заключением, правила ограниченного обращения для высказываний типов a и e, многие правила логического квадрата.

Таким образом, данный перевод категорических высказываний в язык алгебры множеств не позволил ее средствами в полном объеме обосновать традиционную силлогистику, представить старейшую дедуктивную логическую систему в качестве фрагмента «новой» логики. Вместе с тем, в рамках данного подхода была, по существу, сформулирована оригинальная теория выводов из категорических высказываний, отличная как от аристотелевского, так и от традиционного ее варианта. Эту новую силлогистику, вслед за А. де Морганом [De Morgan, 1847], принято называть фундаментальной.

De Morgan A. Formal Logic or the Calculus of Inference, Necessary and Probable. London, 1847.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М., 1967.

Силлогистика и проблема истинностного статуса высказываний о несуществующем

Отказ от исходной семантической предпосылки о непустоте всех терминов в силлогистических рассуждениях ставит вопрос о том, какие значения следует приписать категорическим высказываниям, содержащим пустой субъект или пустой предикат. Данная проблема не имеет однозначного решения. Принятая в фундаментальной силлогистике семантика категорических высказываний, согласно которой все общие высказывания с пустым субъектом истинны, а все частные ложны, – лишь один из возможных ответов на этот вопрос. Выбор тех или иных условий истинности для высказываний с пустыми терминами оказывает определяющее влияние на класс законов силлогистики и форм корректных силлогистических умозаключений, то есть каждой такой семантике соответствует собственная силлогистическая теория.

Один из наиболее известных подходов к установлению истинностного статуса высказываний о несуществующем был предложен У. Оккамом. Согласно этому подходу, все утвердительные высказывания с пустым субъектом должны оцениваться как ложные, а все отрицательные – как истинные [см.: Бродский, 1973, с. 26‒27]. Высказывания форм SeP и SiP имеют у Оккама, по существу, ту же семантику, что и в фундаментальной силлогистике: первые содержат утверждение о пустоте пересечения объемов S и P, вторые – утверждение о непустоте этого пересечения. Отличия заключаются в условиях истинности SaP и SoP: SaP иcтинно лишь при условии, что объем его субъекта S непуст; а SoP оказывается истинным и в том случае, когда объем S пуст.

При такой трактовке категорических высказываний формы SaS и SiS не являются законами, поскольку они принимают значение «ложь» при пустом S. Тем не менее, основной корпус правил традиционной позитивной силлогистики – принципы логического квадрата, правила обращения, 24 модуса простого категорического силлогизма – при принятии оккамовской семантики сохраняется. Существенные отличия от традиционной версии силлогистики появляются в рамках негативной силлогистики. Правила превращения остаются справедливыми только при выведении отрицательных высказываний из утвердительных посылок: SaP Se~P и SiP So~P. Превращение отрицательных высказываний в утвердительные становятся некорректными: SeP Sa~P и SoP Si~P (при пустом S посылка истинна, а заключение ложно).

В.А. Бочаров убедительно обосновал тезис о том, что оккамовская семантика хорошо согласуется с самым первым вариантом силлогистики, предложенным Аристотелем [Бочаров, 1984, с. 69‒79]. Аристотель не считал SaS и SiS логическими законами, а лишь утверждениями о существовании предметов, репрезентируемых термином S. Согласно Аристотелю, выражения «быть не этим» и «не быть этим» не эквивалентны; из утверждения следует отрицание, но не наоборот, то есть принципы превращения должны приниматься именно в версии Оккама. Более того, в трактате «Категории» Аристотель явным образом формулирует аналогичную оккамовской семантику применительно к единичным высказываниям: высказывания вида «v есть P» истинны только при условии существования предмета v, если же предмет v не существует, то утвердительное высказывание «v есть P» наверняка ложно, а отрицательное высказывание «v не есть P» истинно.

Другое решение проблемы истинностного статуса высказываний с пустыми терминами было предложено Б. Больцано [см.: Федоров, 1980, с. 110‒121]. Он полагал, что любое истинное категорическое высказывание (утвердительное и отрицательное, общее и частное) должно содержать непустой субъект. Если субъект категорического высказывания пуст, то его следует оценивать как ложное. В теоретико-множественных терминах, этот подход отличается от принятого в фундаментальной силлогистике семантикой общих высказываний SaP и SeP: SaP иcтинно, если и только если объем S включается в объем P и при этом объем S непуст; SeP истинно, если и только если пересечение объемов S и P пусто, но при этом объем S непуст. При данной интерпретации категорических высказываний SaS и SiS теряют статус законов, перестают быть корректными обращения общеотрицательных высказываний, умозаключения по логическому квадрату, основанные на отношениях между SaP и SeP, а также между SiP и SoP, силлогизмы IV фигуры Camenes и Camenop.

Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М., 1984.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Бродский И.Н. Отрицательные высказывания. Л., 1973.

Субботин А.Л. Теория силлогистики в современной формальной логике. М., 1965.

Федоров Б.И. Логика Бернарда Больцано. Л., 1980.

Современные аксиоматизации чистых позитивных силлогистик

Возрождение интереса к силлогистике на современном этапе развития логики связано с фундаментальной работой Я. Лукасевича [Лукасевич, 1959], который построил на базе классического исчисления высказываний аксиоматическую систему, формализующую традиционный вариант чистой позитивной силлогистики.

Атомарными формулами языка данного исчисления являются выражения видов SaP, SiP, SeP и SoP, где S и P – произвольные общие термины. Сложные формулы образуются, как в пропозициональном языке, с помощью пропозициональных связок отрицания (¬), конъюнкции (), дизъюнкции (), импликации () и эквиваленции (). В число аксиом своей системы Лукасевич включил аксиомы классического исчисления высказываний, а также специфические силлогистические аксиомы следующих видов:

Т1. (MaP SaM) SaP,

Т2. (MaP MiS) SiP,

Т3. SaS,

Т4. SiS,

Т5. SeP ¬SiP,

Т6. SoP ¬SaP.

Единственным правилом вывода в силлогистическом исчислении Лукасевича является modus ponens. Понятие доказательства и теоремы обычные.

В этом исчислении формы правильных силлогистических умозаключений представляются в виде доказуемых формул (теорем) импликативного вида, где антецедентом является посылка (если она единственная) или конъюнкция посылок (если их несколько), а консеквентом – заключение. Например, Т1 – это аналог модуса Barbara I фигуры, а Т2 – аналог модуса Datisi III фигуры. Схемы Т3 и Т4 – законы силлогистического тождества, а Т5 и Т6 – законы диагоналей логического квадрата. Все законы чистого позитивного фрагмента традиционной силлогистики, а также аналоги всех корректных умозаключений этой теории доказуемы в силлогистическом исчислении Лукасевича.

В данном формальном языке был построен ряд аксиоматических систем, которые отличаются от системы Лукасевича классами доказуемых в них силлогистических формул. Особый интерес представляет силлогистическое исчисление Е. Слупецкого, в котором доказуемы аналоги всех правил традиционной силлогистики, но не доказуемы законы силлогистического тождества. Система Слупецкого дедуктивно эквивалентна исчислению С1 В.А. Смирнова [Смирнов, 1980], которая содержит следующие схемы аксиом:

А0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

А1. (MaP SaM) SaP (Barbara);

А2. (MeP SaM) SeP (Celarent);

А3. SeP PeS (закон e-обращения);

А4. SaP SiP (закон подчинения);

А5. SeP ¬SiP;

А6. SoP ¬SaP (законы диагоналей логического квадрата)

и правило modus ponens.

В.А. Смирнов сформулировал еще три силлогистических исчисления, которые являются расширениями системы С1 [Смирнов, 1980].

Исчисление С2 получается за счет добавления к дедуктивным постулатам С1 следующей схемы аксиом:

А7. SiP SaS.

Данная схема представляет собой ослабление закона силлогистического тождества SaS. Ни SaS, ни SiS в С2 не доказуемы. Семантический смысл А7 состоит в следующем: в истинных частноутвердительных высказываниях субъект непуст. Из А3 и А7 несложно получить теорему SaP SaS, содержащую информацию о непустоте субъекта и в истинных общеутвердительных высказываниях. Таким образом, законы С2 соответствуют оккамовской семантике категорических высказываний, поэтому данное исчисление (а не систему Лукасевича) естественно рассматривать как формализацию ассерторической силлогистики Аристотеля.

Исчисление С3 В.А. Смирнова получается за счет присоединения к С1 схемы аксиом:

А8. SiS.

В С3 закон силлогистического тождества доказуем для частноутвердительных, но не доказуем для общеутвердительных высказываний.

Если к С1 добавляются обе схемы – А7 и А8, получается исчисление С4 В.А. Смирнова, дедуктивно эквивалентное силлогистике Лукасевича.

В рамках данного подхода предложены формализации других имевших место в истории логики силлогистик. Чистый позитивный фрагмент фундаментальной силлогистики был впервые аксиоматизирован Дж. Шефердсоном [Shepherdson, 1956]. Эквивалентная система СФ, сформулированная В.И. Маркиным [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 66‒67], содержит следующие дедуктивные постулаты – схемы аксиом:

Ф0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

Ф1. (MaP SaM) SaP;

Ф2. (MeP SaM) SeP;

Ф3. SeP PeS;

Ф4. SaS;

Ф5. SiP SiS;

Ф6. SoP SiS;

Ф7. SeP ¬SiP;

Ф8. SoP ¬SaP

и правило вывода modus ponens.

СФ является подсистемой С4 (последняя получается присоединением к СФ схемы SaP SiP), но не является подсистемой исчислений С1 – С3, которые, в свою очередь, содержат теоремы, недоказуемые в СФ.

Аксиоматическая реконструкция позитивного силлогистического фрагмента логики Б. Больцано была предложена В.И. Маркиным [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 77]. Постулатами исчисления СБ, формализующего эту логическую теорию, являются схемы аксиом:

Б0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

Б1. (MaP SaM) SaP;

Б2. (MeP SaM) SeP;

Б3. SiP PiS;

Б4. SaP SiP;

Б5. SiP SaS;

Б6. SeP (¬SiP SiS);

Б7. SoP (¬SaP SiS)

и правило modus ponens.

Shepherdson J.C. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // Journal of Symbolic Logic. 1956. Vol. 21. No. 2. P. 137‒147.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, 1980.

Силлогистика и логика предикатов

После того, как различные силлогистические теории были представлены в виде аксиоматических исчислений, естественным образом встал вопрос об их отношении к современной кванторной теории – классической логике предикатов. Данная металогическая проблема решалась в терминах переводов формул силлогистического языка в язык логики предикатов и погружающих операций.

Стандартный перевод (*) категорических высказываний в язык логики предикатов задается следующим образом:

SaP* = ∀x(Sx ⊃ Px);

SiP* = ∃x(Sx ∧ Px);

SeP* = ∀x(Sx ⊃ ¬Px);

SoP* = ∃x(Sx ∧ ¬Px).

Этот перевод может быть расширен на множество всех формул языка аксиоматических систем чистой позитивной силлогистики:

A)* = ¬A*,

(A B)* = A* B*,

где ∇ – произвольная бинарная пропозициональная связка.

Оказалось, что данный перевод адекватен фундаментальному варианту силлогистики, формализуемому исчислением СФ: *-перевод любой теоремы СФ доказуем в исчислении предикатов, а *-перевод любой недоказуемой в СФ формулы не является теоремой исчисления предикатов. Таким образом, было установлено, что силлогистика СФ погружается в исчисление предикатов (ИП) посредством перевода * [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 67‒76]:

СФ A, если и только если ИП A*

для любой формулы A языка СФ.

Для силлогистики Лукасевича (системы С4) были обнаружены различные, неэквивалентные друг другу адекватные переводы в язык логики предикатов. Один из них, предложенный М.Н. Бежанишвили и Л.И. Мчедлишвили [Бежанишвили, Мчедлишвили, 1985], определяется на основе «фундаментального» перевода * и явным образом выражает принятую в традиционной версии силлогистики предпосылку о непустоте общих терминов. Пусть A – произвольная формула силлогистического языка, а S1, S2, …, Sn – список всех общих терминов, входящих в состав A. Перевод Θ данной формулы в язык логики предикатов задается так:

Θ(A) = (xS1x xS2x xSnx) A*.

Перевод Θ погружает в классическое исчисление предикатов систему Лукасевича, формализующую чистый позитивный фрагмент традиционной силлогистики [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 90‒95]:

С4 A, если и только если ИП Θ(A).

Система С2 погружается в исчисление предикатов посредством следующего перевода ψ [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 86‒89]:

ψ(SaP) = x(Sx Px) xSx;

ψ(SiP) = x(Sx Px);

ψ(SeP) = x(Sx ¬Px);

ψ(SoP) = x(Sx ¬Px) ¬xSx;

ψA) = ¬ψ(A);

ψ(A B) = ψ(A) ψ(B).

Данный перевод соответствует оккамовской трактовке категорических высказываний с пустыми субъектами, согласно которой все утвердительные высказывания подобного типа ложны, а все отрицательные истинны.

Система СБ погружается в исчисление предикатов посредством следующего перевода χ [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 77‒83]:

χ(SaP) = x(Sx Px) xSx;

χ(SiP) = x(Sx Px);

χ(SeP) = x(Sx ¬Px) xSx;

χ(SoP) = x(Sx ¬Px);

χA) = ¬χ(A);

χ(A B) = χ(A) χ(B).

Перевод χ отражает больцановскую семантику категорических высказываний, требующую, чтобы в истинном высказывании каждого из четырех типов субъект был непустым.

Относительно систем позитивной силлогистики С1 и С3 Л.И. Мчедлишвили показал, что не существует стандартных переводов силлогистических формул в первопорядковый язык, погружающих эти системы в одноместное исчисление предикатов [Мчедлишвили, 1987]. Под стандартным имеется ввиду перевод, который каждой элементарной силлогистической формуле SaP, SiP, SeP и SoP сопоставляет замкнутую формулу языка логики предикатов, не содержащую предикатных символов, отличных от S и P. Вместе с тем, М.Н. Бежанишвили и Л.И. Мчедлишвили удалось сформулировать нестандартный перевод, погружающий системы С1 и С3 в исчисление предикатов [Бежанишвили, Мчедлишвили, 1985], а В.М. Попов и И.И. Хорохорин построили адекватную семантику для этих систем, названную ими диадической [Попов, Хорохорин, 1997].

В современной логике рассматриваются и другие переводы формул языка силлогистики в язык логики предикатов. В этих переводах фиксируются иные условия истинности категорических высказываний. Два подобных перевода были предложены В.А. Смирновым [Смирнов, 1980].

Функция φ1 переводит формы категорических высказываний так:

φ1(SaP) = x(Sx Px) xSx x¬Px;

φ1(SiP) = x(Sx Px);

φ1(SeP) = x(Sx ¬Px);

φ1(SoP) = x(Sx ¬Px) ¬xSx ¬x¬Px.

Согласно данному переводу, субъект и предикат в истинном общеутвердительном высказывании должны быть непустыми и неуниверсальными (их объем не должен совпадать с исходным универсумом).

Перевод категорических высказываний посредством второй функции φ2 задается так:

φ2(SaP) = x(Sx Px) xSx x¬Px;

φ2(SiP) = x(Sx Px) ¬xSx ¬xPx;

φ2(SeP) = x(Sx ¬Px) xSx xPx;

φ2(SoP) = x(Sx ¬Px) ¬xSx ¬x¬Px.

Согласно φ2, непустыми и неуниверсальными должны быть субъект и предикат любого истинного общего высказывания (как утвердительного, так и отрицательного).

Функции φ1 и φ2 могут быть стандартно доопределены на множестве сложных формул языка позитивной силлогистики. Силлогистические теории, которые базируются на семантике категорических высказываний, выраженной переводами φ1 и φ2, были аксиоматизированы Л.И. Мчедлишвили [Мчедлишвили, 1986]. Первое исчисление С1+ является расширением системы С1 и может быть получено из последней добавлением трех схем аксиом:

А9. SaP (SaS PaP);

А10. SiP SiS;

А11. (SeP PiP PoP) SeS.

Второе исчисление С3+ является расширением системы С3 и может быть получено из последней добавлением А9 и еще одной схемы аксиом:

А12. SeP SaS.

При этом схема А8 оказывается излишней, так как она доказуема с использованием других дедуктивных постулатов.

В.И. Маркин доказал метатеоремы о том, что переводы φ1 и φ2 погружают силлогистические системы С1+ и С3+ соответственно в классическое исчисление предикатов [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 115‒122].

Бежанишвили М.Н., Мчедлишвили Л.И. Позитивная силлогистика и логика предикатов // Логика Аристотеля. Тбилиси, 1985.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Мчедлишвили Л.И. Ассерторическая силлогистика Аристотеля и логика одноместных предикатов // Методы логических исследований. Тбилиси, 1987.

Мчедлишвили Л.И. Позитивная ассерторическая силлогистика и логика одноместных предикатов // Логика и системные методы анализа научного знания. М., 1986.

Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем С1 и СЗ формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 4. М., 1997.

Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, 1980.

Современные представления негативных, расширенных и сингулярных силлогистик

Традиционный вариант чистой негативной силлогистики был аксиоматизирован А. Ведбергом [Wedberg, 1948]. Как и силлогистика Лукасевича, система Ведберга строится на основе классического исчисления высказываний. В силлогистический язык добавляется знак терминного отрицания (~). Общие термины либо являются примитивными, либо образуются из других общих терминов с помощью «~» (если S – общий термин, то ~S – общий термин). В качестве исходной силлогистической константы можно взять лишь константу a, а три других константы ввести следующими определениями:

D1. SeP df Sa~P; D2. SiP df ¬Sa~P; D3. SoP df ¬SaP.

Аксиомами исчисления Ведберга (помимо аксиом классического исчисления высказываний) являются формулы следующих типов:

Н1. Sa~~S;

Н2. ~~SaS;

Н3. SaP ~Pa~S;

Н4. (SaM MaP) SaP;

Н5. SaP ¬Sa~P.

Правило вывода – modus ponens.

В данной системе доказуемы все теоремы позитивной силлогистики Лукасевича (исчисления С4) и аналоги принципов превращения в традиционной их трактовке. Эти обстоятельства позволяют рассматривать исчисление Ведберга в качестве формализации именно традиционного варианта чистой негативной силлогистики.

Аксиоматическое представление иных версий чистой негативной силлогистики (фундаментальной, основанной на семантике Оккама, основанной на семантике Больцано, силлогистики Льюиса Кэрролла) было осуществлено А.А. Ильиным, он же доказал погружаемость соответствующих силлогистических исчислений в классическое исчисление предикатов [см.: Ильин, 2000; Ильин, 2003a; Ильин, 2003b; Ильин, 2011].

Важные метатеоретические результаты получены при исследовании чистой расширенной силлогистики. В ее языке содержатся три терминообразующих оператора: ~ (терминное отрицание), (терминная конъюнкция) и + (терминная дизъюнкция). Сложные общие термины могут быть трех типов: ~S, (SP) и (S+P), где S и P – произвольные общие термины. В.А. Бочаров построил систему чистой расширенной силлогистики ArC2, позитивным фрагментом которой является исчисление С2 [Бочаров, 1983]. Им была доказана рекурсивная эквивалентность (взаимная погружаемость) ArC2 и булевой алгебры. В.А. Смирнов [Смирнов, 1983] переформулировал систему Бочарова так, что аксиомы С2 стали в точности составлять позитивную часть расширенной силлогистики: к дедуктивным постулатам С2 добавляются новые схемы аксиом

Д1. SaP Se~P;

Д2. (SaS Se~P) SaP;

Д3. (SP)eM (MS)eP;

Д4. Me(S+P) (MeS MeP);

Д5. Me~(SP) (Me~S Me~P).

В.А. Смирнов осуществил сравнение данной системы силлогистики с булевой логикой классов, сформулированной в терминах отношения включения () и операций пересечения (), объединения () и дополнения (ˊ). Была установлена дефинициальная эквивалентность этих двух логик. Символы булевых операций , , ˊ взаимоопределимы с терминообразующими операторами расширенной силлогистики , +, ~, соответственно отношение включения определимо в силлогистике ArC2 следующим образом:

S P df Se~P,

а определения силлогистических констант в булевой логике классов таковы:

SaP df S P ¬(S Sˊ);

SiP df ¬(S Pˊ);

SeP df S Pˊ;

SaP df ¬(S P) S Sˊ.

Проблема формального представления сингулярных силлогистик (позитивных и негативных) исследовалась в отечественной литературе В.А. Бочаровым и В.И. Маркиным [см.: Бочаров, 1987; Бочаров, Маркин, 2010, с. 174‒201].

В истории логики рассматривались два способа введения единичных (сингулярных) терминов в язык силлогистики. Первый подход восходит к логическим сочинениям Аристотеля, где сингулярные термины разрешено употреблять только на местах субъектов в атрибутивных высказываниях, но никогда – на местах их предикатов. Поскольку в общих и частных высказываниях сингулярные термины не встречаются, высказывания с сингулярными субъектами – «v есть P» и «v не есть P» – следует рассматривать как особые разновидности высказываний, не сводимые к множественным. В языке негативной силлогистики при данном подходе терминное отрицание может быть применено лишь к общим, но никак не к сингулярным терминам.

Другая трактовка синтаксического статуса единичных терминов была характерна для многих средневековых ученых, в частности, для У. Оккама. Они допускали использование таких терминов как на местах субъектов, так и на местах предикатов. Причем единичные высказывания не рассматривались как высказывания особого типа, их стремились свести к множественным: как правило, к общим, но иногда и к частным. С семантической точки зрения, при данном подходе и общие, и сингулярные термины репрезентируют множества: общие термины – множества произвольной мощности, а сингулярные – одноэлементные множества. При оккамовском подходе с этим обстоятельством связана, в частности, возможность применения терминного отрицания в языке негативной силлогистики к терминам обоих видов: не только к общим, но и к единичным.

В современной логике построен ряд исчислений, формализующих разные теории сингулярной силлогистики. Эти теории различаются как способами оперирования единичными терминами, так и классами законов, что обусловлено принятием тех или иных условий истинности форм категорических высказываний.

Особый интерес представляет осуществленная В.И. Маркиным формализация традиционного варианта сингулярной негативной силлогистики [Маркин, 1998]. В языке исчисления СТ содержатся списки простых общих терминов и сингулярных терминов, стандартные силлогистические константы a, i, e, o, знак терминного отрицания ~, а также пропозициональные связки и скобки. Вводится понятие силлогистического термина: таковыми являются простые общие термины, сингулярные термины и выражения вида ~S, где S – силлогистический термин. Элементарными формулами являются выражения видов SaP, SiP, SeP, SoP, где S и P – произвольные силлогистические термины. Сложные формулы образуются с использованием пропозициональных связок обычным способом.

Данное исчисление содержит следующие схемы аксиом (v, w – сингулярные термины, S, P – любые силлогистические термины):

СТ1. vav;

СТ2. vaw wav;

СТ3. (SaP vaS) vaP;

СТ4. (vaP vaS) SiP;

СТ5. SeP ¬SiP;

СТ6. SoP ¬SaP;

СТ7. veS va~S;

СТ8. SiS.

Правилами вывода в исчислении СТ являются:

П1. modus ponens;

П2.

(vaS vaP) A

 

П3.

(vaS veP) A

SiP A;

 

SoP A,

причем сингулярный термин v не содержится в заключениях правил П2 и П3.

Все теоремы чистой позитивной силлогистики Лукасевича (исчисления С4) доказуемы в СТ. Установлено, что система СТ погружается в классическое исчисление предикатов с равенством, дополненное схемой аксиом

x(x = y).

Семантический смысл данной схемы состоит в принятии условия, что предметная область содержит как минимум два индивида.

 

Wedberg A. The Aristotelian theory of classes // Ajatus. 1948. Vol. 15. P. 299‒314.

Бочаров В.А. Булева алгебра в терминах силлогистики // Логические исследования. М., 1983.

Бочаров В.А. Силлогистика с сингулярными терминами // Современная логика и методология науки. М., 1987.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Джиджян Р.З. Расширенная силлогистика. Ереван, 1977.

Ильин А.А. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Логика и В.Е.К. М., 2003.

Ильин А.А. Силлогистика Б. Больцано // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. Вып. II. М., 2003.

Ильин А.А. Традиционная силлогистика с отрицательными терминами // Логические исследования. Вып. 17. М., 2011.

Ильин А.А. Негативная фундаментальная силлогистика // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. Вып. 15. М., 2000.

Маркин В.И. Формальная реконструкция традиционной сингулярной негативной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М., 1998.

Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность расширенной силлогистики С2Д булевой алгебре // Логические исследования. М., 1983.

De Morgan A. Formal Logic or the Calculus of Inference, Necessary and Probable. London, 1847.

Shepherdson J.C. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // Journal of Symbolic Logic. 1956. Vol. 21. No. 2. P. 137‒147.

Thom P. The Syllogism. München, 1981.

Venn J. Symbolic Logic. London, 1881.

Wedberg A. The Aristotelian theory of classes // Ajatus. 1948. Vol. 15. P. 299‒314.

Асмус В.Ф. Логика. М., 1947.

Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля. М., 1960.

Бежанишвили М.Н., Мчедлишвили Л.И. Позитивная силлогистика и логика предикатов // Логика Аристотеля. Тбилиси, 1985.

Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М., 1984.

Бочаров В.А. Булева алгебра в терминах силлогистики // Логические исследования. М., 1983.

Бочаров В.А. Силлогистика с сингулярными терминами // Современная логика и методология науки. М., 1987.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.

Бродский И.Н. Отрицательные высказывания. Л., 1973.

Джиджян Р.З. Расширенная силлогистика. Ереван, 1977.

Ильин А.А. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Логика и В.Е.К. М., 2003.

Ильин А.А. Силлогистика Б. Больцано // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. Вып. II. М., 2003.

Ильин А.А. Традиционная силлогистика с отрицательными терминами // Логические исследования. Вып. 17. М., 2011.

Ильин А.А. Негативная фундаментальная силлогистика // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. Вып. 15. М., 2000.

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М., 1991.

Маркин В.И. Формальная реконструкция традиционной сингулярной негативной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М., 1998.

Мчедлишвили Л.И. Ассерторическая силлогистика Аристотеля и логика одноместных предикатов // Методы логических исследований. Тбилиси, 1987.

Мчедлишвили Л.И. Позитивная ассерторическая силлогистика и логика одноместных предикатов // Логика и системные методы анализа научного знания. М., 1986.

Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем С1 и СЗ формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 4. М., 1997.

Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения. М., 1974.

Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, 1980.

Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность расширенной силлогистики С2Д булевой алгебре // Логические исследования. М., 1983.

Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М., 1967.

Субботин А.Л. Теория силлогистики в современной формальной логике. М., 1965.

Федоров Б.И. Логика Бернарда Больцано. Л., 1980.

Челпанов Г.И. Учебник логики (для гимназий и самообразования). М., 1911.

Маркин В.И.