Аксиоматический метод

Electronic philosophical encyclopedia article
share the uri

Аксиоматический метод: определение

Аксиоматический метод – метод построения научных теорий путем принятия исходного набора аксиом, из которого средствами логической дедукции можно получить все остальные значимые утверждения теории.

Аксиома – принимаемое без доказательства утверждение, выражающее фундаментальные, несводимые к более простым, принципы конкретной области научного знания.

Философские предпосылки аксиоматического метода

Создателем аксиоматического метода считается Аристотель, который обобщил имеющуюся практику построения философских теорий, выделив и исследовав их основные структурные элементы [Аристотель, Метафизика, Кн. I, Гл. 3].

Согласно Аристотелю, научное знание предполагает знание о «первых причинах: ведь мы говорим, что тогда знаем в каждом отдельном случае, когда полагаем, что нам известна первая причина […] одной такой причиной мы считаем сущность или суть бытия вещи (ведь каждое ‘почему’ и есть причина и начало)» [Аристотель, Метафизика, Кн. I, Гл. 3, 983a, 24‒29]. Первые натурфилософы считали «началом то, из чего состоят все вещи, из чего как первого они возникают и во что как в последнее они, погибая, превращаются» [Аристотель, Метафизика, Кн. I, Гл. 3, 983b, 6‒9].

Анализ конкретных теорий Аристотель начинает с учения Фалеса, который «утверждал, что начало – вода (потому он и заявлял, что земля находится на воде); к этому предположению он, быть может, пришел, видя, что пища всех существ влажная и что само тепло возникает из влаги и ею живет (а то, из чего все возникает – это и есть начало всего)» [Аристотель, Метафизика, Кн. I, Гл. 3, 983b, 20‒25]. Доказать общее утверждение, что начало всего – вода, невозможно. Фалес приходит к нему путем обобщения частных подтверждающих примеров, к которым относятся влажная пища, возникающее из влаги тепло, замерзание и испарение воды и др. Именно поэтому Аристотель называет его всего лишь предположением, но, будучи принято, в рамках всего учения оно выступает в роли аксиомы, поскольку не является доказуемым и выражает несводимый к более простым фундаментальный принцип, позволяющий путем рассуждений объяснять многие явления природы [The Milesians, 2014, p. 527].

Далее Аристотель анализирует учения других философов, выделяя постулируемые ими начала: Анаксимен – воздух, Гераклит – огонь, Эмпедокл – землю, воду, воздух и огонь, Анаксагор – бесконечно много начал (гомеомерий), из которых все возникает путем соединения и разъединения. Подробный современный анализ принимаемых Анаксагором постулатов представлен в работе [Graham, 1994].

Располагая богатым историческим материалом, Аристотель в учении о доказательстве на более высоком теоретическом уровне осмыслил и обосновал способ построения научных теорий на основе принятия исходных аксиом и логическом выводе из них.

«А тот, кто в какой-либо области располагает наибольшим знанием, должен быть в состоянии указать наиболее достоверные начала своего предмета, и, следовательно, тот кто располагает таким знанием о существующем как таковом, должен быть в состоянии указать эти наиболее достоверные начала для всего. А это и есть философ» [Аристотель, Метафизика, Кн. IV, Гл. 3, 1005b, 7‒12].

«То [начало], которое необходимо иметь каждому, кто будет что-то изучать, я называю аксиомой; некоторые такие [начала], конечно, имеются, и главным образом их мы обычно так и называем» [Аристотель, Вторая аналитика, Кн. I, Гл. 2, 72a, 16‒18].

«…доказывающее знание необходимо исходит из истинных, первых, неопосредованных, более известных и предшествующих [посылок], т.е. из причин заключения. Ибо такими будут и начала, свойственные тому, что доказывается. В самом деле, силлогизм может быть и без них, доказательство же не может, так как [без них] не создается наука» [Аристотель, Вторая аналитика, Кн. I, Гл.2, 71b, 17‒24].

Поскольку учение Аристотеля об аксиоматическом методе опиралось на опыт предшествующих философов, оно вошло в практику и оказало решающее влияние на последующее развитие европейской науки.

Graham D.W. The postulates of Anaxagoras // Apeiron. 1994. Vol. 27. P. 77‒121.

The Milesians: Thales / Transl. and additional material by R. McKirahan. Berlin; Boston, 2014.

Аристотель. Вторая аналитика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 2. М., 1978. С. 255‒346.

Аристотель. Метафизика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 1. М., 1976. С. 63‒367.

Содержательная аксиоматика

Геометрия. Самой известной математической теорией, построенной с использованием аксиоматического метода, является геометрия, изложенная в знаменитых «Началах» Евклида.

Термин геометрия происходит от греческого слова γεωμετρία, землемерие, и свое изложение Евклид начинает с определения используемых понятий – точки, линии, прямой, поверхности, тупого и острого углов, круга, диаметра, треугольника, четырехугольника, параллельных прямых и др.

«1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Концы же линии – точки.

23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой “стороны” между собой не встречаются» [Евклид, Начала, c. 11‒14].

Эти определения не обладают математической строгостью, но способны вызвать у читателя интуитивное представление об исходных объектах, изучаемых в геометрии. Определяя понятие точки, Евклид сводит его к отсутствию частей. Точка, которую можно нарисовать палкой на земле или карандашом на бумаге, обязательно будет иметь какие-то размеры и в этом смысле является не геометрической точкой, а всего лишь ее физическим прообразом. Чтобы получить геометрическую точку как объект мысли, необходимо отвлечься от ее длины и ширины.

Определение линии отличается от точки тем, что дополняет ее характеристикой длины. Линию мы тоже можем начертить палкой на земле или карандашом на бумаге, но это опять же будет всего лишь несовершенный физический прообраз, имеющий помимо длины еще и ширину.

После определений Евклид приводит пять постулатов.

«Допустим:

1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую линию <можно> непрерывно продолжать до прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых» [Евклид, Начала, с.15].

Термин постулат близок по значению термину аксиома, но имеет не универсальную, а ограниченную степень общности, так как относится к конкретным наукам.

В основе геометрических постулатов лежат наши интуитивные представления о построении геометрических объектов. В полном согласии с первым постулатом мы можем нарисовать на земле или листе бумаги две точки и соединить их отрезком прямой. Это же можно сказать о втором и третьем постулатах. Для нас они интуитивно истинны, хотя продолжить ограниченную линию сколь угодно далеко мы можем лишь мысленно. Четвертый постулат является избыточным, так как его можно вывести из других постулатов и определений [Евклид, Начала, с. 242].

В последующем развитии геометрии больше всего замечаний было высказано в адрес пятого постулата. Если начертить на достаточно большом листе бумаги две прямые A и B, которые образуют с третьей прямой C углы 1 и 2, дающие в сумме меньше двух прямых, то в результате продолжения эти прямые пересекутся в некоторой удаленной точке d.

Image1

Равносильная форма этого постулата гласит, что если углы 1 и 2 в сумме составляют два прямых угла, то при сколь угодно далеком продолжении эти две прямые никогда не пересекутся. Но геометрия происходила от землемерия и понималась как наука о свойствах физического пространства. Утверждения о бесконечности далеки от интуитивной очевидности и потому не выглядели достаточно убедительными. Сегодня этот постулат обычно формулируют в виде еще одного равносильного ему утверждения, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

После постулатов Евклид приводит девять аксиом:

«1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства» [Евклид, Начала, с. 15].

Истинность аксиом интуитивно достаточно очевидна, если представить, что речь идет о сравнении отрезков прямых, сравнении углов или площадей фигур. Эти аксиомы применимы не только к геометрическим объектам, но и, например, к счету предметов, и потому обладают большей степенью общности по сравнению с постулатами. В седьмой аксиоме выражено понимание равенства. Для Евклида равенство – это равновеликость [Евклид, Начала, с. 250], которую можно установить наложением геометрических фигур друг на друга.

Этим завершается вводная часть первой книги «Начал» Евклида, и далее следуют Предложения (теоремы в современной терминологии), содержащие доказательства различных утверждений о возможности построения и свойствах геометрических объектов. Теоремы представляют опосредованное знание, так как для их получения необходимо провести некоторые рассуждения, опирающиеся на исходные постулаты и аксиомы.

Самое первое Предложение звучит следующим образом: «На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник» [Евклид, Начала, с. 15].

Для этого предлагается отложить отрезок прямой, и затем радиусом, равным длине этого отрезка, провести две дуги с центрами в концах отрезка. Точка пересечения дуг будет искомой точкой третьей вершины равностороннего треугольника.

Image2

Решение задачи слишком очевидно, чтобы в нем можно было усомниться. Но дело в том, что из постулатов и аксиом Евклида никак не следует, что у двух проведенных дуг найдется общая точка пересечения. Мы убеждены в этом лишь потому, что уже имеем опыт построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Многие из доказательств Евклида опираются не только на явно сформулированные в определениях и аксиомах свойства геометрических объектов и логический вывод из них, но и на нашу интуицию и знакомство с предметной областью, о которой идет речь. В этом смысле аксиоматика геометрии, представленная в «Началах» Евклида, не удовлетворяет критериям полноты и строгости и потому может быть названа содержательной.

В.А. Смирнов следующим образом определил такой тип аксиоматических теорий: «Под содержательной аксиоматической теорией понимают теорию относительно некоторой системы объектов, известной до формулировки теории; аксиомы и выводимые из них теоремы говорят нечто об объектах изучаемой системы и могут расцениваться как истинные или ложные. Задача аксиоматической теории состоит в том, чтобы найти такую систему аксиом, чтобы все значимые относительно этой системы объектов общие положения выводились чисто логически из принятой системы аксиом. […] Метод содержательной аксиоматики был единственной формой аксиоматического метода до последней четверти прошлого [XIX] столетия» [Смирнов, 2001, с. 419].

Развитие геометрии в последующие две тысячи лет было наполнено не только доказательством новых теорем, но и выявлением неявных интуитивных предпосылок, которые принимал Евклид.

Впечатление, которое произвели «Начала», было столь сильно, что долгое время выбранный Евклидом аксиоматический метод изложения называли геометрическим и предпринимали неоднократные попытки следовать ему.

Эти попытки нашли отражение и в философии. Одно из сочинений Б. Спинозы называется «Основы философии Декарта, доказанные геометрическим методом». Другое известное его сочинение имеет название «Этика, доказанная в геометрическом порядке и разделенная на пять частей». Как и Евклид, Спиноза начинает изложение с определений и аксиом, за которыми следуют доказательства теорем. Например, первое определение гласит: «Под причиною самого себя (causa sui) я разумею то, сущность чего заключает в себе существование, иными словами, то, чья природа может быть представляема не иначе, как существующею» [Спиноза, Этика, с. 361], а первая аксиома – «Все, что существует, существует или само в себе, или в чем-либо другом» [Там же, с. 362].

Однако применение аксиоматического метода построения теорий в гуманитарных науках было не столь успешным, как в математических и науках о природе [Варден, 2007]. Это связано с тем, что предметная область гуманитарных наук и используемые понятия не могли быть определены и описаны столь же строго, как в геометрии.

Логика. Через содержательный этап развития прошла и логика, призванная служить инструментом получения новых утверждений теории из принятых аксиом. Он характеризовался анализом языка, выявлением его базовых категорий и структур, определением понятия истинности «... тот, кто говорит о вещах в соответствии с тем, каковы они есть, говорит истину, тот же, кто говорит о них иначе, – лжет...» [Платон, 385b], которое позже несколько иными словами было воспроизведено Аристотелем «... говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть, – значит говорить ложное; а говорить о том, что сущее есть и не-сущее не есть, – значит говорить истинное» [Аристотель, Метафизика, IV, 7, 101125]. Были сформулированы законы тождества, непротиворечия и исключенного третьего. Если целью познания является истина, то правильные рассуждения не должны нарушать этих законов. Получили распространение рассуждения путем сведения к абсурду, когда для опровержения некоторого тезиса показывают, что он приводит к противоречию. В то же время многие рассуждения продолжали нести не строгий, а содержательно-убедительный характер, и зачастую приводили к нелепым заключениям, что было продемонстрировано на примере софизмов и апорий Зенона.

Аристотель. Метафизика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 1. М., 1976. С. 63‒367.

Варден Б.Л. ван дер. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Изд. 3-е. М., 2007.

Евклид. Начала. Кн. I–VI. М.; Л., 1948.

Платон. Кратил // Платон. Соч.: в 4 т. Т.1. М., 1990. С. 613‒681.

Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В.А. Смирнова. М., 2001.

Спиноза Б. Основы философии Декарта, доказанные геометрическим методом // Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. М., 1957. С. 173‒264.

Спиноза Б. Этика, доказанная в геометрическом порядке и разделенная на пять частей // Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. М., 1957. С. 359‒618.

Формальная аксиоматика

Построение формальных теорий было обусловлено объективными потребностями дальнейшего развития науки: «…мы не можем остановиться на содержательной аксиоматике по той простой причине, что в науке – если не всегда, то все же по преимуществу – мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не может быть обоснована ссылкой на очевидность ее аксиом или на опыт. Более того, ее обоснование и может быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, т.е. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения выходят за границы наглядно очевидного или данных опыта. Прийти к выводу о непротиворечивости этой теории нам не поможет и ссылка на приблизительную значимость ее положений. В самом деле, противоречие может возникать как раз из-за того, что мы считаем вполне определенным какое-нибудь отношение, которое имеет место только в некотором ограниченном смысле» [Гильберт, Бернайс, 1979, с. 23].

Становление геометрии от содержательной теории к формальной было длительным, растянувшимся на два тысячелетия. Наибольшие сомнения вызывал пятый постулат, и именно попытки решить проблему его обоснования привели к качественному скачку в развитии геометрии.

Многочисленные попытки доказать этот постулат из других аксиом и постулатов геометрии оказались безуспешными. Это наводило на мысль, что он независим и может быть заменен другим, например, его отрицанием. Об этом догадывался уже Гаусс, о чем сообщал в переписке с близкими ему математиками, но предусмотрительно воздерживался от открытых публикаций на эту тему [Клайн, 2007, с. 138‒140].

В 1826 Н.И. Лобачевский выступил с докладом о новой «Воображаемой геометрии», а в 1829 опубликовал работу «О началах геометрии», где пятый постулат о параллельных был заменен другим, говорящим, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с ней в одной плоскости и не пересекающие её. Новая геометрия содержала много необычных теорем, но не приводила ни к каким явным противоречиям.

Почти одновременно с Лобачевским еще одну неэвклидову геометрию построил Я. Бойяи. Появились и другие работы на эту тему. Математики постепенно пришли к выводу, что геометрия Евклида не обязательно является геометрией реального физического пространства, и что могут существовать другие системы аксиом, описывающие геометрические свойства окружающего мира или его фрагментов. В этой ситуации возникла необходимость провести ревизию исходных понятий геометрии и принимаемых в ней аксиом.

Геометрия. Заслуга первого полного аксиоматического представления геометрии принадлежит Д. Гильберту, который в 1899 опубликовал ставшую классической работу «Основания геометрии». Во введении Гильберт пишет: «Настоящее исследование представляет собой новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом» [Гильберт, 1948, с. 55].

В первом параграфе он вводит исходные понятия языка: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем A, B, C, …; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c, …; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем α, β, γ,… Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных отношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: “лежать”, “между”, “конгруэнтный”, “параллельный”, “непрерывный”. Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии» [Гильберт, 1948, с. 56].

Гильберт, в отличие от «Начал» Евклида, не дает определений, что такое точка, прямая и плоскость, а просто вводит разные языковые символы для их обозначения. Это первое важное отличие формальных аксиоматических теорий от содержательных.

Далее Гильберт последовательно вводит пять групп аксиом и доказывает относящиеся к ним теоремы.

У Евклида первый постулат гласил, что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». В нем неявным образом содержалось указание на нашу способность оперирования физическими предметами, чтобы с помощью линейки или другого инструмента соединить две точки прямой линией.

Вместо этого Гильберт вводит понятие отношения принадлежности между точками, прямыми и плоскостями. Первый постулат Евклида приобретает у него вид двух аксиом:

«I1. Для любых двух точек A, B существует прямая a, принадлежащая каждой из этих двух точек A, B.

I2. Для двух точек A, B существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек A, B» [Гильберт, 1948, с. 57].

Здесь уже речь идет не о том, чтобы физически соединить две точки прямой, а о существовании функциональной зависимости между предметами, называемыми точками, и предметами, называемыми прямыми, что для любых двух точек существует единственная прямая, которой эти точки принадлежат. Так происходит избавление от содержательных физических интуиций, поскольку теперь точки и прямые – это всего лишь названия для двух разных видов объектов, призванные облегчить понимание аксиом.

Понятие пересечения двух прямых Гильберт определяет следующим образом: «… вместо A принадлежит a, мы будем говорить: A лежит на a, или A является точкой a и т.п. Если точка A лежит на прямой a и, кроме того, на прямой b, то мы будем говорить: прямые a и b пересекаются в точке A, имеют общую точку A и т.п.» [Гильберт, 1948, с. 57].

Знаменитая аксиома о параллельных имеет привычный нам современный вид: «IV. (Аксиома Евклида) Пусть a – произвольная прямая, а A – точка, лежащая вне ее; в таком случае в плоскости, определяемой прямой a и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и не пересекающей прямую a» [Гильберт, 1948, с. 86].

Можно обратить внимание на то, что Гильберт в своей работе, как и Евклид, при доказательстве многих теорем использует чертежи геометрических фигур. Почему в таком случае принято говорить, что геометрия Гильберта формальная?

«Новым этапом и соответственно новым уровнем является формальная аксиоматика, систематически проведенная в «Основаниях геометрии» Д. Гильбертом. При формальной аксиоматике абстрагируются от конкретного содержания понятий, входящих в систему аксиом, и от природы предметной области. В основу формальной аксиоматики кладется система аксиом, затем из этих аксиом получают следствия, которые образуют теорию относительно любой системы объектов, удовлетворяющих положенным в основу аксиомам» [Смирнов, 2001, с. 419].

При построении геометрии Гильберт использовал небольшой набор исходных понятий, которые не определялись явно, как у Евклида, а обретали смысл лишь в рамках системы аксиом. Доказательства теорем опирались на аксиомы, а не на связанные с чертежами интуиции. Чертежи служили всего лишь иллюстрациями для облегчения понимания того, о чем идет речь.

После публикации работы Гильберта многие математики высоко оценили ее, но обратили внимание, что предложенная система аксиом недостаточна для построения евклидовой геометрии. Не все геометрические интуиции получили оформление в явном виде. Поэтому во втором издании Гильберт добавил еще одну аксиому – аксиому полноты V2 [Гильберт, 1948, с. 87‒88].

Формальное построение геометрии позволило по-новому взглянуть на проблему непротиворечивости и независимости ее аксиом. Гильберт показал, каким образом можно интерпретировать все понятия и аксиомы геометрии в терминах точек и уравнений декартовой плоскости [Гильберт, 1948, с. 92‒96]. Тем самым он свел вопрос о ее непротиворечивости к вопросу о непротиворечивости арифметики, т.е. доказал относительную непротиворечивость. Там же он доказал независимость аксиомы о параллельных от других аксиом [Гильберт, 1948, с. 96‒104].

Примененный Гильбертом метод интерпретации одних теорий в других стал важным методом установления относительной непротиворечивости. Позже с его помощью А. Пуанкаре и Ф. Клейн доказали непротиворечивость геометрии Лобачевского относительно геометрии Евклида в формулировке Гильберта.

Формальный характер геометрии Гильберта предполагает возможность существования ее нестандартных интерпретаций, которые не обязательно должны быть геометрическими.

«Еще доцентом Гильберт прослушал в Галле лекцию Ганса Винера об основаниях и структуре геометрии. Находясь под влиянием абстрактной точки зрения Винера на геометрические объекты, по дороге в Кёнигсберг на вокзале в Берлине он глубокомысленно заметил своим спутникам: “Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках”. В этом шутливом замечании содержалась суть курса лекций, которые он намеревался прочесть» [Рид, 1977, c. 79].

Если при формулировке аксиом мы избавились от неясных интуиций, которые у разных людей могут просто не совпадать или проявляться в разной степени, и вместо этого выразили все допущения об исследуемых объектах в явной форме, то ничто не запрещает той же системе аксиом быть справедливой и относительно других систем объектов. В математике и ее приложениях большое значение имеет теория групп, которая приобрела его как раз потому, что имеет много разных интерпретаций для разных систем объектов, позволяя увидеть стоящие за ними общие принципы. Точно так же и геометрия может иметь много разных интерпретаций, среди которых в качестве главной мы выделяем именно геометрическую.

Арифметика. Если говорить о других математических науках, то формальный этап развития арифметики начался с ее аксиоматизации в работах Дедекинда и Пеано [Wang Hao, 1957].

«(P1) 0 есть натуральное число.

(P2) Для любого натурального числа x существует другое натуральное число, обозначаемое x’ и называемое: (непосредственно) следующее за x.

(P3) 0x’ для любого натурального числа x.

(P4) Если x’=y’, то x=y.

(P5) Если Q есть свойство, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа и если

(I) натуральное число 0 обладает свойством Q и

(II) для всякого натурального числа x из того, что x обладает свойством Q, следует, что и натуральное число x’ обладает свойством Q,

то свойством Q обладают все натуральные числа (принцип индукции)» [Мендельсон, 1976, с. 115].

Как и в случае геометрии Гильберта, аксиомы формальной арифметики формулируются на естественном языке, но с использованием специальных обозначений для исследуемых объектов – 0, х, x’.

Логика. Исторически первой формальной теорией явилась логика Аристотеля, которая возникла даже раньше, чем геометрия Евклида. Логика должна была предоставить единый свод правил рассуждений, применимых в любых областях знания независимо от их конкретной специфики. Аристотель выделяет субъектно-предикатную структуру простых категорических суждений и делит их на утвердительные и отрицательные, а также на общие, частные и неопределенные. Для обоснования тех или иных способов умозаключений он использует не конкретные суждения, а замещает входящие в них термины буквами: «Итак, пусть сперва посылка АБ будет общеотрицательной. Если А не присуще ни одному Б, то и Б не будет присуще ни одному А. Ибо если бы Б было присуще какому-то [А], например, В, то было бы неправильно, что А не присуще ни одному Б, так как В есть какое-то Б» [Аристотель, Первая Аналитика, Гл. 2, 25a 14‒17].

Конкретные суждения он использует лишь тогда, когда нужно привести контрпример для ошибочного умозаключения. Аристотель рассматривает однопосылочные и двухпосылочные умозаключения, которые делит на фигуры и в каждой из фигур выделяет правильные и неправильные модусы. В результате у него получилась стройная система умозаключений, правильность которых зависит не от конкретного смысла входящих в них суждений, а лишь от их логической формы.

Через две тысячи лет И. Кант следующим образом оценил совершенство и законченность силлогистики Аристотеля: «…со времени Аристотеля ей не приходилось делать ни шага назад, если не считать улучшением устранение некоторых ненужных тонкостей и более ясное изложение, относящиеся скорее к изящности, нежели к достоверности науки. Примечательно в ней также и то, что она до сих пор не могла сделать ни шага вперед и, судя по всему, она кажется наукой вполне законченной и завершенной» [Кант, 1994, с. 14].

Построение формальных аксиоматических теорий явилось значительным шагом в развитии многих наук, но ряд вопросов все еще оставался без ответов.

Гильберт доказал непротиворечивость геометрии Евклида относительно арифметики. Но что, если сама арифметика противоречива? Тогда противоречивой может оказаться и геометрия. Чтобы раз и навсегда убедиться в непротиворечивости некоторой теории, необходимо доказать, что в ней не выводимо никакое утверждение A вместе с его отрицанием не-A. Такое доказательство было бы доказательством абсолютной непротиворечивости теории.

Нерешенной оставалась проблема доказательства полноты теории. Справедливо ли относительно геометрии или другой теории, что для любого ее утверждения A мы можем доказать либо его, либо его отрицание не-A?

Открытым оставался вопрос о природе математических объектов. Гильберт придерживался точки зрения, что если допущение о несуществовании объекта приводит к противоречию, то такой объект должен существовать. Отличной точки зрения придерживался Пуанкаре и ряд других математиков. Они считали, что о существовании математических объектов можно говорить лишь в том случае, если их можно построить. Эта проблема была тесно связана с проблемой уточнения допустимых способов рассуждений, которыми пользовались математики. По умолчанию предполагалось, что все математики ими уже владеют, но возникающие споры свидетельствовали о необходимости их дальнейшего уточнения и ответе на вопрос, что можно считать доказательством, а что нет?

Wang Hao. The Axiomatization of arithmetic // Journal of Symbolic Logic. 1957. Vol 22. P. 145‒158.

Аристотель. Первая аналитика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 2. М., 1978. С. 117‒254.

Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979.

Кант И. Критика чистого разума. М., 1994.

Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 2007.

Лобачевский Н.И. О началах геометрии // Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений по геометрии. Т. 1. Казань, 1883. С. 1‒70.

Мендельсон Э.М. Введение в математическую логику. М., 1976.

Рид К. Гильберт. М., 1977.

Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В.А. Смирнова. М., 2001.

Формализованные аксиоматические теории

Следующим этапом в развитии аксиоматического метода явилось построение формализованных теорий. Произошел еще один качественный скачок. Главным объектом исследования стали не предметные области теорий, а сами теории. В этом заключается коренное отличие формализованных теорий от содержательных и формальных, что часто упускается из вида и приводит к их неправильной оценке. Основной задачей, которая решается с их помощью, стало изучение свойств теорий с точки зрения используемых языков, способов построения, используемых логических средств, непротиворечивости, полноты, разрешимости, отношений между теориями и др.

Понятие формализованной аксиоматической теории впервые было сформулировано в работах Гильберта по логике [Гильберт, 1947] и метаматематике [Гильберт, Бернайс, 1979]. Он пришел к идее новой науки, объектами изучения которой должны стать сами математические доказательства. Для этого необходимо представить математические утверждения в виде цепочек символов, построенных по строго определенным правилам синтаксиса специального языка. После этого доказательства можно было представить как оперирование цепочками символов, совершаемое по строгим правилам логики, совершенно независимо от придаваемого им смысла. Началами доказательств должны были стать аксиомы тех или иных теорий, формализованные в виде цепочек символов. Если в формальных аксиоматических теориях широко используется естественный язык, то построение формализованных теорий подчиняется строгим правилам и происходит в четыре этапа.

  1. Сначала задают язык теории. Для этого определяют:

    1. алфавит – перечень всех элементарных символов;

    2. синтаксис – правила построения выражений языка, которые обычно делятся на термы (аналоги простых и сложных имен естественного языка) и формулы (аналоги предложений естественного языка).

  2. Затем выбирают некоторое множество формул и рассматривают его в качестве аксиом формализованной теории. При этом аксиомы подразделяются на аксиомы логики, которые имеют универсальный характер, и аксиомы (постулаты) конкретной теории.

  3. После этого задают правила вывода – правила получения одних формул из других.

  4. Вывод из множества гипотез Γ в теории T определяется как непустая конечная последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома теории T, либо гипотеза из множества Γ, либо получена из предшествующих формул последовательности по одному из правил вывода. Если A – конечная формула вывода, то говорят, что она выводима из множества гипотез Γ, и записывают это в виде Γ |–T A. Если при построении вывода никакие гипотезы не используются, то говорят, что формула A доказуема в данной формализованной теории, и записывают это в виде |–T A. Если в выводе формулы A используются лишь аксиомы логики, то говорят, что это теорема логики, и записывают в виде |–A.

Таким образом, все выражения формализованной теории представляют собой конечные цепочки элементарных символов, а выводы – конечные последовательности таких цепочек. В результате появляется возможность их изучения с использованием строгих логико-математических методов. Появление формализованных теорий сразу привело к доказательству ряда фундаментальных метатеорем об их свойствах.

А. Тарский положил начало построению семантики формализованных языков, определению понятий истинности и логического следования [Tarski, 1956]. В настоящее время специальный раздел логики, теория моделей [Кейслер, Чэн., 1977], занимается изучением этих и связанных с ними вопросов.

Был найден исчерпывающий набор аксиом и правил вывода для формализованных языков, все теоремы которого истинны при любых интерпретациях в любых непустых предметных областях. Это в 1930 было доказано К. Гёделем [Gödel, 1986, p. 102‒123]. Множество таких теорем стали отождествлять с теоремами логики.

Поскольку доказательства в формализованных теориях – это просто конечные последовательности конечных цепочек символов, появилась возможность дать строгую формулировку целому ряду проблем: непротиворечивости, полноты, разрешимости и др.

Отрицание формулы A часто обозначают посредством ¬A. В этом случае некоторая теория T непротиворечива, если и только если в ней ни для какой формулы A нельзя доказать ее и ее отрицание ¬A.

Теория T полна, если и только если для любой формулы A в этой теории доказуема она или ее отрицание ¬A.

Проблема разрешимости заключается в ответе на вопрос, существует ли метод, который для теории T и формулы A позволяет за конечное число шагов дать ответ на вопрос, доказуема она в этой теории или нет?

Логика. Одним из обязательных требований к построению формализованных теорий является указание на используемую логику рассуждений. Для этого в явном виде формулируются аксиомы и правила вывода логики. Это действительно необходимо, поскольку способы рассуждений могут различаться в зависимости от принимаемых допущений. Самыми известными и давними конкурентами являются классическая и интуиционистская логика, по-разному понимающие логические операции отрицания, дизъюнкции и импликации. Гильберт принимал все аксиомы и правила вывода классической логики. Ряд других математиков, идейных последователей Пуанкаре, считал допустимыми лишь те рассуждения, которые формализуемы в интуиционистской логике. Сегодня существуют формализованные теории, построенные на основе релевантных, паранепротиворечивых и других логик.

Одной из интересных формализованных теорий является теория множеств Цермело-Френкеля [Suppes, 1960]. Она была создана с целью устранения противоречий в теории множеств Г. Кантора и претендует на роль оснований всей математики, поскольку к ней можно свести все известные математические теории, в том числе арифметику и геометрию.

Для правильного понимания места и роли формализованных теорий в здании современной науки, необходимо еще раз подчеркнуть, что они были созданы не для того, чтобы доказывать теоремы, относящиеся к предметным областям тех или иных теорий, а для исследования свойств самих этих теорий – их полноты, непротиворечивости, разрешимости, отношений с другими теориями и др. Нельзя требовать, чтобы математики проводили все свои доказательства средствами формализованных теорий. Они работали и продолжают работать в рамках формальных теорий. В то же время, если вдруг возникнут сомнения в корректности полученных ими доказательств, должна существовать возможность провести реконструкцию и проверку полученных результатов средствами формализованных теорий.

Сегодня, в связи с широким распространением компьютерной техники, формализованным теориям нашлось еще одно применение. Они наилучшим образом подходят для использования в специальных программах автоматического доказательства теорем. Если для работающих математиков лучше всего подходят формальные теории, то для компьютеров – формализованные.

Понятие абстрактной аксиоматической системы стало отдельным важным объектом исследований в логике. При отвлечении от характеристик конкретных предметных областей единственным общим свойством аксиом остается недоказуемость. Это часто приводит к путанице в понимании сути аксиоматического метода. Принятие того или иного набора аксиом в аксиоматической системе мотивировано не их недоказуемостью, а свойствами конкретной предметной области, которые должны быть описаны. Абстрактный же подход позволяет в самом общем виде исследовать необходимые и достаточные условия аксиоматизируемости теорий, их разрешимости, полноты и непротиворечивости.

Геометрия. В работе [Гильберт, Бернайс, 1979, с. 24‒29] была представлена одна из первых формализованных теорий геометрии Евклида. Ее построение во многом следует формальной геометрии Гильберта [Гильберт, 1948], но имеет и принципиальные отличия.

«… для наших целей будет удобно несколько отступить от гильбертовской системы аксиом: мы будем исходить не из точек и прямых как объектов, образующих две различные системы, а возьмем в качестве индивидов только точки. Вместо отношения “точки x и y определяют прямую g” у нас появится трехместное отношение “точки x, y, z лежат на одной прямой”, для которого мы будем применять обозначение Gr(x,y,z). Наряду с этим отношением в качестве второго основного отношения мы возьмем отношение порядка: “x лежит между y и z”, которое будем обозначать посредством Zw(x,y,z)» [Гильберт, Бернайс, 1979, с. 24].

Первая аксиома (постулат) формальной геометрии Гильберта «I1. Для любых двух точек A, B существует прямая a, принадлежащая каждой из этих двух точек A, B» [Гильберт, 1948, с. 57] в формализованной геометрии представлена двумя аксиомами:

«1) xyGr(x,x,y)

(x, x, y всегда лежат на одной прямой).

2) xyz(Gr(x,y,z) Gr(y,x,z) & Gr(x,z,y))» [Гильберт, Бернайс, 1979, с. 26].

Другой вариант формализованной теории геометрии Евклида предложил А. Тарский [Tarski, 1956], [Tarski, Givant, 1999], использовав иной набор исходных понятий и аксиом. Для нее были доказаны теоремы о непротиворечивости и полноте.

Арифметика. Система аксиом формализованной арифметики приняла следующий вид [Мендельсон, 1976, с. 116]:

A.1 = y (= z = z)

A.2 = y = x

A.3 0  Sx

A.4 Sx = Sy ⸧ x = y

A.6 x+0 = x

A.7 x+Sy = S(x+y)

A.8 x×0 = 0

A.9 x×Sy = (x×y)+x

A.10 A(0) ⸧ (Ɐx(A(x) ⸧ A(Sx)) ⸧ ⱯxA(x))

При подразумеваемой интерпретации языка терм 0 обозначает число ноль, Sx – функцию “следования за”, сопоставляющую каждому числу непосредственно следующее за ним в натуральном ряду. Сложение и умножение чисел представлено термами x+y и x×y.

Gödel K. Collected Works. I: Publications 1929‒1936. Oxford, 1986.

Suppes P. Axiomatic set theory. N.Y., 1960.

Tarski A. Logic, Semantics and Metamathematics. Oxford, 1956.

Tarski A. What is Elementary Geometry? // The Axiomatic Method / Ed. by L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski. Amsterdam, 1959. P. 16‒29.

Tarski A., Givant S. Tarski’s System of Geometry // The Bulletin of Symbolic Logic. 1999. Vol. 5. No. 2. P. 175‒214.

Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.

Гильберт Д. Основы теоретической логики. М., 1947.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979.

Кейслер Г., Чэн Ч. Теория моделей. М., 1977.

Мендельсон Э.М. Введение в математическую логику. М., 1976.

Ограничения аксиоматического метода

Формализация теорий наряду с положительными результатами позволила установить и ограниченность аксиоматического метода.

В 1931 К. Гёдель представил доказательство того, что всякая непротиворечивая и достаточно богатая теория, содержащая в себе арифметику, неполна [Gödel, 1986, p. 145‒195]. Т.е. в ней существуют такие предложения A и ¬A, что ни одно из них не доказуемо. Поскольку из двух предложений, являющихся отрицанием друг друга, одно истинно, то это означает, что во всякой достаточно богатой теории существуют истинные, но недоказуемые предложения. Более того, непротиворечивость таких теорий не может быть доказана средствами, формализуемыми в этих теориях. Для этого необходимо использовать более богатые логико-математические методы, которые сами требуют обоснования. Отсюда следовала невозможность получить убедительное доказательство непротиворечивости арифметики, а также непротиворечивости теории множеств, претендующей на то, чтобы быть базисом всей математики.

Если истинное, но недоказуемое утверждение добавить к теории в качестве новой аксиомы, это не решит проблемы, так как и в этом случае можно будет указать другие истинные, но недоказуемые утверждения. Их бесконечно много.

Может показаться, что эти результаты относятся только к математическому знанию, но на самом деле они имеют и большое философское значение. Это становится очевидным, если вспомнить, что идею объяснения явлений окружающего мира из небольшого числа принципов мы унаследовали из античности, и все философские системы в той или иной форме постулировали такие принципы. Гёдель доказал, что конечного набора объясняющих принципов не существует.

Доказательство теоремы о неполноте опиралось на один из вариантов парадокса Лжеца, в котором попытка установить истинность или ложность ссылающегося на себя (самореферентного) высказывания «Данное предложение ложно» приводит к противоречию. Гёдель показал, что самореференция возможна и в арифметике, построив предложение G, утверждающее собственную недоказуемость. Если принять допущение, что теория непротиворечива и все ее теоремы истинны, то отсюда следует, что ни G, ни ¬G не доказуемы. Если допустить, что формула G доказуема, то она должна быть истинной, но ее истинность заключается в утверждении, что она не доказуема. Мы приходим к противоречию. Поэтому наше допущение неверно, и формула G не доказуема, но это именно то, что она и утверждает. Следовательно, формула G истинна и одновременно с этим недоказуема.

Результат Гёделя, с философской точки зрения, был усилен Г. Чейтиным. Дело не только в несуществовании конечного набора аксиом. Чейтин, опираясь на понятие алгоритмической сложности, показал, что для всяких достаточно богатых теорий существует предел сложности предложений, которые можно в них доказать [Chaitin, 1970]. Если мы захотим расширить множество аксиом такой теории, то должны добавить новую аксиому, сложность которой будет выходить за границы этого предела. Здесь мы сталкиваемся с тем, что утверждения, представленные новыми аксиомами, перестают быть самоочевидными истинами. Для того, чтобы кого-то убедить принять их, мы должны будем прибегнуть к более сложным и потому отнюдь не самоочевидным аргументам. Такие же не самоочевидные аргументы могут быть выдвинуты и в пользу принятия отрицания новой аксиомы. Никаких простых критериев для выбора, как поступить, не существует, и теория может непротиворечивым образом развиваться как в одном, так и другом направлении. Таким образом, если Гёдель показал, что не существует конечного набора аксиом, то Чейтин показал, что мы не можем использовать в качестве критерия отбора аксиом их самоочевидность.

Тем не менее, обнаруженные ограничения аксиоматического метода не означают, что от него следует отказаться. Любые теории опираются на исходный набор понятий и в той или иной форме постулируемые отношения между ними. Точно так же любые теории не сводятся к одним лишь аксиомам, а содержат и опосредованное знание, к которому приходят в результате рассуждений. Парадигма аксиоматического метода может получить дальнейшее развитие за счет внесения изменений в понятие рассуждения. Один из таких подходов предполагает переход к открытым теориям, в которых рассуждения служат не только доказательству теорем, но и нахождению новых аксиом [Cellucci, 1993; Cellucci, 2013].

 

Cellucci C. From Closed to Open Systems // Philosophy of mathematics: Proceedings of the 15th International Wittgenstein Symposium. Wien, 1993. P. 206‒220.

Cellucci C. Rethinking Logic: Logic in Relation to Mathematics, Evolution, and Method. Springer, 2013.

Chaitin G. Computational complexity and Gödel’s incompleteness theorem // AMS Notices. 1970. Vol. 17. P. 672.

Gödel K. Collected Works. I: Publications 1929‒1936. Oxford, 1986.

Cellucci C. From Closed to Open Systems // Philosophy of mathematics: Proceedings of the 15th International Wittgenstein Symposium. Wien, 1993. P. 206‒220.

Cellucci C. Rethinking Logic: Logic in Relation to Mathematics, Evolution, and Method. Springer, 2013.

Chaitin G. Computational complexity and Gödel’s incompleteness theorem // AMS Notices. 1970. Vol. 17. P. 672.

Graham D.W. The postulates of Anaxagoras // Apeiron. 1994. Vol. 27. P. 77‒121.

Gödel K. Collected Works. I: Publications 1929‒1936. Oxford, 1986.

Suppes P. Axiomatic set theory. N.Y., 1960.

Tarski A. Logic, Semantics and Metamathematics. Oxford, 1956.

Tarski A. What is Elementary Geometry? // The Axiomatic Method / Ed. by L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski. Amsterdam, 1959. P. 16‒29.

Tarski A., Givant S. Tarski’s System of Geometry // The Bulletin of Symbolic Logic. 1999. Vol. 5. No. 2. P. 175‒214.

The Milesians: Thales / Transl. and additional material by R. McKirahan. Berlin; Boston, 2014.

Wang Hao. The Axiomatization of arithmetic // Journal of Symbolic Logic. 1957. Vol 22. P. 145‒158.

Аристотель. Вторая аналитика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 2. М., 1978. С. 255‒346.

Аристотель. Метафизика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 1. М., 1976. С. 63‒367.

Аристотель. Первая аналитика // Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 2. М., 1978. С. 117‒254.

Варден Б.Л. ван дер. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Изд. 3-е. М., 2007.

Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948.

Гильберт Д. Основы теоретической логики. М., 1947.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979.

Евклид. Начала. Кн. I–VI. М.; Л., 1948.

Кант И. Критика чистого разума. М., 1994.

Кейслер Г., Чэн Ч. Теория моделей. М., 1977.

Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 2007.

Лобачевский Н.И. О началах геометрии // Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений по геометрии. Т. 1. Казань, 1883. С. 1‒70.

Мендельсон Э.М. Введение в математическую логику. М., 1976.

Платон. Кратил // Платон. Соч.: в 4 т. Т.1. М., 1990. С. 613‒681.

Рид К. Гильберт. М., 1977.

Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В.А. Смирнова. М., 2001.

Спиноза Б. Основы философии Декарта, доказанные геометрическим методом // Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. М., 1957. С. 173‒264.

Спиноза Б. Этика, доказанная в геометрическом порядке и разделенная на пять частей // Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. М., 1957. С. 359‒618.

Шалак В.И.