Отрицание

share the uri
  • Отрицание

    Отрицание – логическая связка, аналог языкового выражения «неверно, что», «не» и обозначается: ¬, ~ или чертой над отрицаемым выражением.

    Так, при двух имеющих место в классической логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) отрицание определяется следующей таблицей:

    p

    ¬p

    1

    0

    0

    1

    В классической логике истинностная функция отрицания меняет значение высказывания на противоположное: когда p – истинно, ¬p – ложно, и наоборот. Таким образом, отрицание формирует смысловую оппозицию между p и ¬p в том смысле, что имеет место по крайней мере одна ситуация (p) или вторая (¬p), но не обе вместе. Отсюда получаем два свойства отрицания:

    (1) по крайней мере одна ситуация p или ¬p должна иметь место. Именно это выражает формула p ¬p, известная как закон исключенного третьего;

    (2) несовместимость того, чтобы одновременно имеет место и ситуация p, и ситуация ¬p выражается формулой ¬(p ¬p), известной как закон непротиворечия.

    Таким образом, на уровне классической логики ситуацию противоречия, когда p и ¬p вместе истинными быть не могут, но не могут быть оба и ложными, адекватно описывает только одна из четырех возможных в этой логике унарных функций – вышеприведенная функция отрицания.

    Но если отказаться от принципа двузначности и перейти, например, к трехзначной логике, у нас появится возможность по-разному обобщать свойства отрицания. Появляется возможность определить такое отрицание, которое не формирует противоречие в указанном выше смысле, то есть p и ¬p могут быть одновременно истинными, и тогда в такой логике не имеет места закон непротиворечия. Так, например, определяется отрицание в т.н. паранепротиворечивых логиках, позволяющих формализовать рассуждения в условиях противоречивой информации. Можно также определить такое отрицание, что p и ¬p могут быть одновременно ложными, и в такой логике не имеет места закон исключенного третьего. И таким образом определяется отрицание в т.н. параполных логиках, позволяющих формализовать рассуждения в условиях неполной информации (о паралогиках см. [Карпенко, Томова, 2016]).

    Обратим внимание, что отрицание можно задать не только с помощью таблицы истинности, но и как процедуру вычисления некоторой операции. И это играет существенную роль при рассмотрении систем многозначных логик (более подробно см. [Карпенко, 2010, с. 179]). Так, связке отрицания соответствует операция вычитания значения аргумента из единицы: ~x = n-1-x, где x соответствует истинностному значению пропозициональной переменной, а n – число истинностных значений в логике. Это определение т.н. «зеркального отрицания». Другой вариант: ¬x = (x+1)mod n, – представляет собой обобщение отрицания в смысле «циклического сдвига значений» (отрицание Поста). Ji(x)-операторы также обобщают некоторые свойства отрицания:

    Ji(x) = {n1,еслиx=i,0,еслиxi.}

    В случае двузначной логики не важно, какую операцию вычисления мы используем, любая задает отрицание, определяемое вышеприведенной таблицей истинности.

  • Bibliography

  • Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику: учебник. М., 2008.
  • Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М., 2010.
  • Карпенко А.С., Томова Н.Е. Трехзначная логика Бочвара и литеральные паралогики. М., 2016.