Конъюнкция

Конъюнкция (от лат. conjunctio – союз, связь) – логическая связка, аналог языкового союза «и», служит для образования сложного высказывания из двух и более простых высказываний. Обычно для конъюнкции используют следующие обозначения: ∧, &, точка в виде знака умножения, которая может опускаться.

Современное определение конъюнкции можем найти уже у стоиков: «… сложное конъюнктивное суждение ложно в том случае, если хотя бы одно суждение, входящее в состав сложного, ложно» [Попов, Стяжкин, 1974, с. 100] (см. также [Łukasiewicz, 1970, p. 204]).

Итак, конъюнкция приписывает выражению p ∧ q значение 1 только в случае, когда как p, так и q истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение p ∧ q равно 0. Таким образом, конъюнктивное высказывание выражает мысль об одновременном наличии двух ситуаций. Так, будет истинным высказывание «Москва – столица России, и снег бел». При определении истинности конъюнктивного высказывания учитываются только истинностные значения простых высказываний, смысловая связь между ними не учитывается.

Таблица истинности для конъюнкции выглядит следующим образом:

Вместо табличного задания истинностной функции ее можно задать следующим образом: p ∧ q = min (p, q), т.е. связке конъюнкции соответствует операция взятия наименьшего значения двух аргументов (при естественном упорядочении истинностных значений 0 и 1, когда 0 < 1). Таким образом, это более удобный способ определения связки конъюнкции в многозначных логиках, где более двух истинностных значений.

В естественном языке формулировка конъюнктивных высказываний обычно осуществляется с помощью союза «и». Однако стоит учитывать, что не любое употребление союза «и» выражает указанный смысл связки «∧». Например, в сложном высказывании «Человек бросил камень, и окно разбилось», союз «и» выражает мысль не об одновременном наличии двух ситуаций, а о последовательной смене этих ситуаций во времени. Здесь употреблена такая конъюнкция, для которой существенное значение имеет последовательность описания событий. Употребляя в формализованных языках «∧», мы отвлекаемся от порядка событий в действительности, что правомерно лишь в тех случаях, когда в самой действительности последовательность не является существенной. Конъюнкция в таком случае обладает свойством коммутативности, то есть «p ∧ q» эквивалентно «q ∧ p».

Смысл конъюнкции в естественном языке в некоторых случаях может выражаться и с помощью других союзов: «а», «но», «как…, так и», «а также» и др., кроме того, в конъюнктивных высказываниях соединительные союзы могут быть опущены, а вместо них использованы запятая или точка с запятой. В книге С. Клини дан (неисчерпывающий) список выражений, которые могут быть заменены при переводе с естественного языка символом конъюнкции [Клини, 1973, с. 81]: