Истинностные таблицы

share the uri
  • Истинностные таблицы

    Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний.

    Возникает вопрос, какие истинностные функции соответствуют логическим связкам?

    Истинностные функции удобно задавать табличным способом, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа – значения самой функции. Таким образом, каждая формула логики высказываний реализует некоторую истинностную функцию, которая графически может быть представлена истинностной таблицей.

    Табличный метод определения значения истинности предложений был подробно описан Л. Витгенштейном в «Логико-философском трактате». По Витгенштейну, между миром и нашим языком устанавливается особое отношение – предложения изображают действительность: «4.01. Предложение – картина действительности» [Витгенштейн, 1994, с. 19]. Таким образом, в основе нашего знания о мире – элементарные предложения, которые могут составлять сложные предложения. Вопрос об истинности сложных предложений сводится к вопросу об истинности элементарных: «5. Предложение – функция истинности элементарных предложений (Элементарное предложение – функция истинности самого себя)» [Витгенштейн, 1994, с. 35]. В разделе 4.31 «Логико-философского трактата» приводятся совместные наборы условий истинности элементарных предложений в привычном для нас табличном виде [Витгенштейн, 1994, с. 31]:

    p

    q

    r

     

    p

    q

     

    p

    И

    И

    И

     

    И

    И

     

    И

    Л

    И

    И

     

    Л

    И

     

    Л

    И

    Л

    И

     

    И

    Л

     

     

    И

    И

    Л

     

    Л

    Л

     

     

    Л

    Л

    И

     

     

     

     

     

    Л

    И

    Л

     

     

     

     

     

    И

    Л

    Л

     

     

     

     

     

    Л

    Л

    Л

     

     

     

     

     

    Итак, в классической логике при двух истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания p и q могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений (интерпретаций): <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Такие функции называют булевыми функциями. Всего таких бинарных функций (функций от двух аргументов) 16 и, соответственно, всего 4 унарные функции (функции от одного аргумента).

    Приведем таблицы для отрицания (¬), конъюнкции (), нестрогой дизъюнкции (), строгой или исключающей дизъюнкции (), импликации () и эквиваленции ().

    p

    ¬p

     

    p

    q

    p q

    p q

    p q

    p q

    p q

    1

    0

     

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

     

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

     

     

     

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

     

     

     

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    Ранее мы упоминали, что в трехзначной логике Лукасевича Ł3 определимы модальные операторы возможности (), необходимости () и случайности (). Они задаются следующими таблицами:

    p

    p

    p

    p

    1

    1

    1

    0

    ½

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    Табличный метод удобен для вычисления истинностного значения формул, соответствующих сложным высказываниям. Так, для формулы классической логики высказываний, содержащей в точности n различных пропозициональных переменных, существует в точности 2n различных интерпретаций, т.е. таблица истинности для этой формулы будет содержать 2n строк.

    Ясно, что табличный метод не всегда удобен. Например, построение таблицы затруднительно для формул, содержащих пять и более различных пропозициональных переменных, а также в случае, если мы имеем дело с многозначной логикой, где число истинностных значений превышает 2.

  • Bibliography

  • Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику: учебник. М., 2008.
  • Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М., 2008.
  • Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М., 2010.