Логика высказываний

share the uri
  • Логика высказываний

    Сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения изучаются в рамках логики высказываний (пропозициональной логики). В отличие от логики предикатов простые высказывания при этом выступают как целостные образования, внутренняя структура которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

    В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Обычно используются следующие общеизвестные грамматические связки (союзы): «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», выражение «неверно, что». В процессе символизации (формализации) естественного языка средствами логики высказываний простые высказывания замещаются пропозициональными переменными p, q, r, … с индексами или без них; указанные выше грамматические связки называются логическими связками (пропозициональными связками), которые получили следующие названия и обозначения:

    · отрицание – аналог языкового выражения «неверно, что», «не», обозначается: ¬, ~ или чертой над отрицаемым выражением;

    · конъюнкция – аналог языкового союза «и», символические обозначения: &, и точка в виде знака умножения, которая может опускаться;

    · дизъюнкция (нестрогая) – аналог языкового «или», обозначается ;

    · дизъюнкция (строгая) – аналог языкового «либо.., либо», обозначается ;

    · импликация – аналог языкового «если.., то», обозначается с помощью знака и различного рода стрелок;

    · эквиваленция – аналог языкового «если и только если», «тогда и только тогда, когда», символическое обозначение: и различного рода стрелки в обе стороны.

    При формализации используются также технические символы – правая скобка и левая скобка для того, чтобы можно было по-разному группировать высказывания и тем самым определять порядок выполнения операций. Таким образом определяется пропозициональный язык.

    Правильно построенные выражения пропозиционального языка называются формулами: (1) всякая пропозициональная переменная является формулой; (2) если A и B – формулы, то ¬A, A B, A B, A B, A B, A B – формулы; (3) никакие другие выражения не являются формулами.

    Из перечисленных связок отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике любые многоместные логические связки могут быть выражены через перечисленные выше.

    Семантика классической логики высказываний в своем основании имеет следующие принципы:

    (1) принцип двузначности: каждое простое высказывание является или истинным, или ложным.

    (2) принцип экстенсиональности: истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых. Таким образом, логические связки являются знаками истинностных функций.

    Однако эти принципы не являются универсальными. Они предполагают принятие достаточно сильных абстракций. Но часто при решении познавательных задач исследователь сталкивается с необходимостью выйти за рамки классической логики.

    Так, например, «одной из задач науки является отличение необходимого от случайного, возможного от невозможного, но значения контекстов, содержащих термины “необходимо”, “случайно”, “возможно” и др. (эти термины называют модальностями, а соответствующие контексты – модальными), зависят не только от значений входящих в них выражений» [Бочаров, Маркин, 2008, c. 279]. То есть возникает необходимость наличия в пропозициональном языке особых связок и операторов, позволяющих работать с таким контекстами. Выразительные возможности классической логики недостаточны.

    Принцип двузначности был подвергнут сомнению уже в античности. Аристотель в 9-й главе «Об истолковании» [Аристотель, 1978, с. 99–102], пытаясь опровергнуть им же изобретенный фаталистический аргумент, ставит проблему истинностного статуса высказываний о будущих случайных событиях. В XX веке Я. Лукасевич, анализируя эту аристотелевскую проблему, приходит к важному выводу, что принцип двузначности не универсален и, по крайней мере, не применим к высказываниям о будущих случайных событиях. Так в логику вводится третье истинностное значение, отличное от истины и лжи. Лукасевичем была сконструирована первая система трехзначной логики Ł3ukasiewicz, 1920].

    Введение в логику третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью, имело радикальные последствия для логики. В трехзначной логике мы можем конструировать новые логические связки, не существующие в двузначной логике. Лукасевич показал, что в рамках классической логики нельзя построить модальную. В Ł3 определимы модальные операторы возможности, необходимости, случайности (см. [Карпенко, 2010, с. 46]). (В разделе «Истинностные таблицы» см. табличное определение этих операторов.)

  • Bibliography

  • Łukasiewicz J. O logike trjwartociowey // Ruch Filozoficzny. 1920. Vol. 5. P. 170–171 (aнгл. пер.: Łukasiewicz J. On three-valued logic // Łukasiewicz J. Selected Works. Amsterdam, 1970. P. 87–88).
  • Аристотель. Об истолковании // Аристотель. Сочинения: в 4 т. Т. 2. М., 1978. С. 92–116.
  • Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику: учебник. М., 2008.
  • Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М., 2010.