Современные представления негативных, расширенных и сингулярных силлогистик

share the uri
  • Современные представления негативных, расширенных и сингулярных силлогистик

    Традиционный вариант чистой негативной силлогистики был аксиоматизирован А. Ведбергом [Wedberg, 1948]. Как и силлогистика Лукасевича, система Ведберга строится на основе классического исчисления высказываний. В силлогистический язык добавляется знак терминного отрицания (~). Общие термины либо являются примитивными, либо образуются из других общих терминов с помощью «~» (если S – общий термин, то ~S – общий термин). В качестве исходной силлогистической константы можно взять лишь константу a, а три других константы ввести следующими определениями:

    D1. SeP df Sa~P; D2. SiP df ¬Sa~P; D3. SoP df ¬SaP.

    Аксиомами исчисления Ведберга (помимо аксиом классического исчисления высказываний) являются формулы следующих типов:

    Н1. Sa~~S;

    Н2. ~~SaS;

    Н3. SaP ~Pa~S;

    Н4. (SaM MaP) SaP;

    Н5. SaP ¬Sa~P.

    Правило вывода – modus ponens.

    В данной системе доказуемы все теоремы позитивной силлогистики Лукасевича (исчисления С4) и аналоги принципов превращения в традиционной их трактовке. Эти обстоятельства позволяют рассматривать исчисление Ведберга в качестве формализации именно традиционного варианта чистой негативной силлогистики.

    Аксиоматическое представление иных версий чистой негативной силлогистики (фундаментальной, основанной на семантике Оккама, основанной на семантике Больцано, силлогистики Льюиса Кэрролла) было осуществлено А.А. Ильиным, он же доказал погружаемость соответствующих силлогистических исчислений в классическое исчисление предикатов [см.: Ильин, 2000; Ильин, 2003a; Ильин, 2003b; Ильин, 2011].

    Важные метатеоретические результаты получены при исследовании чистой расширенной силлогистики. В ее языке содержатся три терминообразующих оператора: ~ (терминное отрицание), (терминная конъюнкция) и + (терминная дизъюнкция). Сложные общие термины могут быть трех типов: ~S, (SP) и (S+P), где S и P – произвольные общие термины. В.А. Бочаров построил систему чистой расширенной силлогистики ArC2, позитивным фрагментом которой является исчисление С2 [Бочаров, 1983]. Им была доказана рекурсивная эквивалентность (взаимная погружаемость) ArC2 и булевой алгебры. В.А. Смирнов [Смирнов, 1983] переформулировал систему Бочарова так, что аксиомы С2 стали в точности составлять позитивную часть расширенной силлогистики: к дедуктивным постулатам С2 добавляются новые схемы аксиом

    Д1. SaP Se~P;

    Д2. (SaS Se~P) SaP;

    Д3. (SP)eM (MS)eP;

    Д4. Me(S+P) (MeS MeP);

    Д5. Me~(SP) (Me~S Me~P).

    В.А. Смирнов осуществил сравнение данной системы силлогистики с булевой логикой классов, сформулированной в терминах отношения включения () и операций пересечения (), объединения () и дополнения (ˊ). Была установлена дефинициальная эквивалентность этих двух логик. Символы булевых операций , , ˊ взаимоопределимы с терминообразующими операторами расширенной силлогистики , +, ~, соответственно отношение включения определимо в силлогистике ArC2 следующим образом:

    S P df Se~P,

    а определения силлогистических констант в булевой логике классов таковы:

    SaP df S P ¬(S Sˊ);

    SiP df ¬(S Pˊ);

    SeP df S Pˊ;

    SaP df ¬(S P) S Sˊ.

    Проблема формального представления сингулярных силлогистик (позитивных и негативных) исследовалась в отечественной литературе В.А. Бочаровым и В.И. Маркиным [см.: Бочаров, 1987; Бочаров, Маркин, 2010, с. 174‒201].

    В истории логики рассматривались два способа введения единичных (сингулярных) терминов в язык силлогистики. Первый подход восходит к логическим сочинениям Аристотеля, где сингулярные термины разрешено употреблять только на местах субъектов в атрибутивных высказываниях, но никогда – на местах их предикатов. Поскольку в общих и частных высказываниях сингулярные термины не встречаются, высказывания с сингулярными субъектами – «v есть P» и «v не есть P» – следует рассматривать как особые разновидности высказываний, не сводимые к множественным. В языке негативной силлогистики при данном подходе терминное отрицание может быть применено лишь к общим, но никак не к сингулярным терминам.

    Другая трактовка синтаксического статуса единичных терминов была характерна для многих средневековых ученых, в частности, для У. Оккама. Они допускали использование таких терминов как на местах субъектов, так и на местах предикатов. Причем единичные высказывания не рассматривались как высказывания особого типа, их стремились свести к множественным: как правило, к общим, но иногда и к частным. С семантической точки зрения, при данном подходе и общие, и сингулярные термины репрезентируют множества: общие термины – множества произвольной мощности, а сингулярные – одноэлементные множества. При оккамовском подходе с этим обстоятельством связана, в частности, возможность применения терминного отрицания в языке негативной силлогистики к терминам обоих видов: не только к общим, но и к единичным.

    В современной логике построен ряд исчислений, формализующих разные теории сингулярной силлогистики. Эти теории различаются как способами оперирования единичными терминами, так и классами законов, что обусловлено принятием тех или иных условий истинности форм категорических высказываний.

    Особый интерес представляет осуществленная В.И. Маркиным формализация традиционного варианта сингулярной негативной силлогистики [Маркин, 1998]. В языке исчисления СТ содержатся списки простых общих терминов и сингулярных терминов, стандартные силлогистические константы a, i, e, o, знак терминного отрицания ~, а также пропозициональные связки и скобки. Вводится понятие силлогистического термина: таковыми являются простые общие термины, сингулярные термины и выражения вида ~S, где S – силлогистический термин. Элементарными формулами являются выражения видов SaP, SiP, SeP, SoP, где S и P – произвольные силлогистические термины. Сложные формулы образуются с использованием пропозициональных связок обычным способом.

    Данное исчисление содержит следующие схемы аксиом (v, w – сингулярные термины, S, P – любые силлогистические термины):

    СТ1. vav;

    СТ2. vaw wav;

    СТ3. (SaP vaS) vaP;

    СТ4. (vaP vaS) SiP;

    СТ5. SeP ¬SiP;

    СТ6. SoP ¬SaP;

    СТ7. veS va~S;

    СТ8. SiS.

    Правилами вывода в исчислении СТ являются:

    П1. modus ponens;

    П2.

    (vaS vaP) A

     

    П3.

    (vaS veP) A

    SiP A;

     

    SoP A,

    причем сингулярный термин v не содержится в заключениях правил П2 и П3.

    Все теоремы чистой позитивной силлогистики Лукасевича (исчисления С4) доказуемы в СТ. Установлено, что система СТ погружается в классическое исчисление предикатов с равенством, дополненное схемой аксиом

    x(x = y).

    Семантический смысл данной схемы состоит в принятии условия, что предметная область содержит как минимум два индивида.

     

  • Bibliography

  • Wedberg A. The Aristotelian theory of classes // Ajatus. 1948. Vol. 15. P. 299‒314.
  • Бочаров В.А. Булева алгебра в терминах силлогистики // Логические исследования. М., 1983.
  • Бочаров В.А. Силлогистика с сингулярными терминами // Современная логика и методология науки. М., 1987.
  • Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.
  • Джиджян Р.З. Расширенная силлогистика. Ереван, 1977.
  • Ильин А.А. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Логика и В.Е.К. М., 2003.
  • Ильин А.А. Силлогистика Б. Больцано // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. Вып. II. М., 2003.
  • Ильин А.А. Традиционная силлогистика с отрицательными терминами // Логические исследования. Вып. 17. М., 2011.
  • Ильин А.А. Негативная фундаментальная силлогистика // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. Вып. 15. М., 2000.
  • Маркин В.И. Формальная реконструкция традиционной сингулярной негативной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М., 1998.
  • Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность расширенной силлогистики С2Д булевой алгебре // Логические исследования. М., 1983.