Современные представления негативных, расширенных и сингулярных силлогистик

Традиционный вариант чистой негативной силлогистики был аксиоматизирован А. Ведбергом [Wedberg, 1948]. Как и силлогистика Лукасевича, система Ведберга строится на основе классического исчисления высказываний. В силлогистический язык добавляется знак терминного отрицания (~). Общие термины либо являются примитивными, либо образуются из других общих терминов с помощью «~» (если S – общий термин, то ~S – общий термин). В качестве исходной силлогистической константы можно взять лишь константу a, а три других константы ввести следующими определениями:

D1. SeP ≡df Sa~P; D2. SiP ≡df ¬Sa~P; D3. SoP ≡df ¬SaP.

Аксиомами исчисления Ведберга (помимо аксиом классического исчисления высказываний) являются формулы следующих типов:

Н1. Sa~~S;

Н2. ~~SaS;

Н3. SaP ⊃ ~Pa~S;

Н4. (SaM ∧ MaP) ⊃ SaP;

Н5. SaP ⊃ ¬Sa~P.

Правило вывода – modus ponens.

В данной системе доказуемы все теоремы позитивной силлогистики Лукасевича (исчисления С4) и аналоги принципов превращения в традиционной их трактовке. Эти обстоятельства позволяют рассматривать исчисление Ведберга в качестве формализации именно традиционного варианта чистой негативной силлогистики.

Аксиоматическое представление иных версий чистой негативной силлогистики (фундаментальной, основанной на семантике Оккама, основанной на семантике Больцано, силлогистики Льюиса Кэрролла) было осуществлено А.А. Ильиным, он же доказал погружаемость соответствующих силлогистических исчислений в классическое исчисление предикатов [см.: Ильин, 2000; Ильин, 2003a; Ильин, 2003b; Ильин, 2011].

Важные метатеоретические результаты получены при исследовании чистой расширенной силлогистики. В ее языке содержатся три терминообразующих оператора: ~ (терминное отрицание), ∙ (терминная конъюнкция) и + (терминная дизъюнкция). Сложные общие термины могут быть трех типов: ~S, (S∙P) и (S+P), где S и P – произвольные общие термины. В.А. Бочаров построил систему чистой расширенной силлогистики ArC2, позитивным фрагментом которой является исчисление С2 [Бочаров, 1983]. Им была доказана рекурсивная эквивалентность (взаимная погружаемость) ArC2 и булевой алгебры. В.А. Смирнов [Смирнов, 1983] переформулировал систему Бочарова так, что аксиомы С2 стали в точности составлять позитивную часть расширенной силлогистики: к дедуктивным постулатам С2 добавляются новые схемы аксиом

Д1. SaP ⊃ Se~P;

Д2. (SaS ∧ Se~P) ⊃ SaP;

Д3. (S∙P)eM ⊃ (M∙S)eP;

Д4. Me(S+P) ≡ (MeS ∧ MeP);

Д5. Me~(S∙P) ≡ (Me~S ∧ Me~P).

В.А. Смирнов осуществил сравнение данной системы силлогистики с булевой логикой классов, сформулированной в терминах отношения включения (⊆) и операций пересечения (⋂), объединения (⋃) и дополнения (ˊ). Была установлена дефинициальная эквивалентность этих двух логик. Символы булевых операций ⋂, ⋃, ˊ взаимоопределимы с терминообразующими операторами расширенной силлогистики ∙, +, ~, соответственно отношение включения определимо в силлогистике ArC2 следующим образом:

S ⊆ P ≡df Se~P,

а определения силлогистических констант в булевой логике классов таковы:

SaP ≡df S ⊆ P ∧ ¬(S ⊆ Sˊ);

SiP ≡df ¬(S ⊆ Pˊ);

SeP ≡df S ⊆ Pˊ;

SaP ≡df ¬(S ⊆ P) ∨ S ⊆ Sˊ.

Проблема формального представления сингулярных силлогистик (позитивных и негативных) исследовалась в отечественной литературе В.А. Бочаровым и В.И. Маркиным [см.: Бочаров, 1987; Бочаров, Маркин, 2010, с. 174‒201].

В истории логики рассматривались два способа введения единичных (сингулярных) терминов в язык силлогистики. Первый подход восходит к логическим сочинениям Аристотеля, где сингулярные термины разрешено употреблять только на местах субъектов в атрибутивных высказываниях, но никогда – на местах их предикатов. Поскольку в общих и частных высказываниях сингулярные термины не встречаются, высказывания с сингулярными субъектами – «v есть P» и «v не есть P» – следует рассматривать как особые разновидности высказываний, не сводимые к множественным. В языке негативной силлогистики при данном подходе терминное отрицание может быть применено лишь к общим, но никак не к сингулярным терминам.

Другая трактовка синтаксического статуса единичных терминов была характерна для многих средневековых ученых, в частности, для У. Оккама. Они допускали использование таких терминов как на местах субъектов, так и на местах предикатов. Причем единичные высказывания не рассматривались как высказывания особого типа, их стремились свести к множественным: как правило, к общим, но иногда и к частным. С семантической точки зрения, при данном подходе и общие, и сингулярные термины репрезентируют множества: общие термины – множества произвольной мощности, а сингулярные – одноэлементные множества. При оккамовском подходе с этим обстоятельством связана, в частности, возможность применения терминного отрицания в языке негативной силлогистики к терминам обоих видов: не только к общим, но и к единичным.

В современной логике построен ряд исчислений, формализующих разные теории сингулярной силлогистики. Эти теории различаются как способами оперирования единичными терминами, так и классами законов, что обусловлено принятием тех или иных условий истинности форм категорических высказываний.

Особый интерес представляет осуществленная В.И. Маркиным формализация традиционного варианта сингулярной негативной силлогистики [Маркин, 1998]. В языке исчисления СТ содержатся списки простых общих терминов и сингулярных терминов, стандартные силлогистические константы a, i, e, o, знак терминного отрицания ~, а также пропозициональные связки и скобки. Вводится понятие силлогистического термина: таковыми являются простые общие термины, сингулярные термины и выражения вида ~S, где S – силлогистический термин. Элементарными формулами являются выражения видов SaP, SiP, SeP, SoP, где S и P – произвольные силлогистические термины. Сложные формулы образуются с использованием пропозициональных связок обычным способом.

Данное исчисление содержит следующие схемы аксиом (v, w – сингулярные термины, S, P – любые силлогистические термины):

СТ1. vav;

СТ2. vaw ⊃ wav;

СТ3. (SaP ∧ vaS) ⊃ vaP;

СТ4. (vaP ∧ vaS) ⊃ SiP;

СТ5. SeP ≡ ¬SiP;

СТ6. SoP ≡ ¬SaP;

СТ7. veS ≡ va~S;

СТ8. SiS.

Правилами вывода в исчислении СТ являются:

П1. modus ponens;

причем сингулярный термин v не содержится в заключениях правил П2 и П3.

Все теоремы чистой позитивной силлогистики Лукасевича (исчисления С4) доказуемы в СТ. Установлено, что система СТ погружается в классическое исчисление предикатов с равенством, дополненное схемой аксиом

∃x∃y¬(x = y).

Семантический смысл данной схемы состоит в принятии условия, что предметная область содержит как минимум два индивида.