Силлогистика и логика предикатов

share the uri
  • Силлогистика и логика предикатов

    После того, как различные силлогистические теории были представлены в виде аксиоматических исчислений, естественным образом встал вопрос об их отношении к современной кванторной теории – классической логике предикатов. Данная металогическая проблема решалась в терминах переводов формул силлогистического языка в язык логики предикатов и погружающих операций.

    Стандартный перевод (*) категорических высказываний в язык логики предикатов задается следующим образом:

    SaP* = ∀x(Sx ⊃ Px);

    SiP* = ∃x(Sx ∧ Px);

    SeP* = ∀x(Sx ⊃ ¬Px);

    SoP* = ∃x(Sx ∧ ¬Px).

    Этот перевод может быть расширен на множество всех формул языка аксиоматических систем чистой позитивной силлогистики:

    A)* = ¬A*,

    (A B)* = A* B*,

    где ∇ – произвольная бинарная пропозициональная связка.

    Оказалось, что данный перевод адекватен фундаментальному варианту силлогистики, формализуемому исчислением СФ: *-перевод любой теоремы СФ доказуем в исчислении предикатов, а *-перевод любой недоказуемой в СФ формулы не является теоремой исчисления предикатов. Таким образом, было установлено, что силлогистика СФ погружается в исчисление предикатов (ИП) посредством перевода * [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 67‒76]:

    СФ A, если и только если ИП A*

    для любой формулы A языка СФ.

    Для силлогистики Лукасевича (системы С4) были обнаружены различные, неэквивалентные друг другу адекватные переводы в язык логики предикатов. Один из них, предложенный М.Н. Бежанишвили и Л.И. Мчедлишвили [Бежанишвили, Мчедлишвили, 1985], определяется на основе «фундаментального» перевода * и явным образом выражает принятую в традиционной версии силлогистики предпосылку о непустоте общих терминов. Пусть A – произвольная формула силлогистического языка, а S1, S2, …, Sn – список всех общих терминов, входящих в состав A. Перевод Θ данной формулы в язык логики предикатов задается так:

    Θ(A) = (xS1x xS2x xSnx) A*.

    Перевод Θ погружает в классическое исчисление предикатов систему Лукасевича, формализующую чистый позитивный фрагмент традиционной силлогистики [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 90‒95]:

    С4 A, если и только если ИП Θ(A).

    Система С2 погружается в исчисление предикатов посредством следующего перевода ψ [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 86‒89]:

    ψ(SaP) = x(Sx Px) xSx;

    ψ(SiP) = x(Sx Px);

    ψ(SeP) = x(Sx ¬Px);

    ψ(SoP) = x(Sx ¬Px) ¬xSx;

    ψA) = ¬ψ(A);

    ψ(A B) = ψ(A) ψ(B).

    Данный перевод соответствует оккамовской трактовке категорических высказываний с пустыми субъектами, согласно которой все утвердительные высказывания подобного типа ложны, а все отрицательные истинны.

    Система СБ погружается в исчисление предикатов посредством следующего перевода χ [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 77‒83]:

    χ(SaP) = x(Sx Px) xSx;

    χ(SiP) = x(Sx Px);

    χ(SeP) = x(Sx ¬Px) xSx;

    χ(SoP) = x(Sx ¬Px);

    χA) = ¬χ(A);

    χ(A B) = χ(A) χ(B).

    Перевод χ отражает больцановскую семантику категорических высказываний, требующую, чтобы в истинном высказывании каждого из четырех типов субъект был непустым.

    Относительно систем позитивной силлогистики С1 и С3 Л.И. Мчедлишвили показал, что не существует стандартных переводов силлогистических формул в первопорядковый язык, погружающих эти системы в одноместное исчисление предикатов [Мчедлишвили, 1987]. Под стандартным имеется ввиду перевод, который каждой элементарной силлогистической формуле SaP, SiP, SeP и SoP сопоставляет замкнутую формулу языка логики предикатов, не содержащую предикатных символов, отличных от S и P. Вместе с тем, М.Н. Бежанишвили и Л.И. Мчедлишвили удалось сформулировать нестандартный перевод, погружающий системы С1 и С3 в исчисление предикатов [Бежанишвили, Мчедлишвили, 1985], а В.М. Попов и И.И. Хорохорин построили адекватную семантику для этих систем, названную ими диадической [Попов, Хорохорин, 1997].

    В современной логике рассматриваются и другие переводы формул языка силлогистики в язык логики предикатов. В этих переводах фиксируются иные условия истинности категорических высказываний. Два подобных перевода были предложены В.А. Смирновым [Смирнов, 1980].

    Функция φ1 переводит формы категорических высказываний так:

    φ1(SaP) = x(Sx Px) xSx x¬Px;

    φ1(SiP) = x(Sx Px);

    φ1(SeP) = x(Sx ¬Px);

    φ1(SoP) = x(Sx ¬Px) ¬xSx ¬x¬Px.

    Согласно данному переводу, субъект и предикат в истинном общеутвердительном высказывании должны быть непустыми и неуниверсальными (их объем не должен совпадать с исходным универсумом).

    Перевод категорических высказываний посредством второй функции φ2 задается так:

    φ2(SaP) = x(Sx Px) xSx x¬Px;

    φ2(SiP) = x(Sx Px) ¬xSx ¬xPx;

    φ2(SeP) = x(Sx ¬Px) xSx xPx;

    φ2(SoP) = x(Sx ¬Px) ¬xSx ¬x¬Px.

    Согласно φ2, непустыми и неуниверсальными должны быть субъект и предикат любого истинного общего высказывания (как утвердительного, так и отрицательного).

    Функции φ1 и φ2 могут быть стандартно доопределены на множестве сложных формул языка позитивной силлогистики. Силлогистические теории, которые базируются на семантике категорических высказываний, выраженной переводами φ1 и φ2, были аксиоматизированы Л.И. Мчедлишвили [Мчедлишвили, 1986]. Первое исчисление С1+ является расширением системы С1 и может быть получено из последней добавлением трех схем аксиом:

    А9. SaP (SaS PaP);

    А10. SiP SiS;

    А11. (SeP PiP PoP) SeS.

    Второе исчисление С3+ является расширением системы С3 и может быть получено из последней добавлением А9 и еще одной схемы аксиом:

    А12. SeP SaS.

    При этом схема А8 оказывается излишней, так как она доказуема с использованием других дедуктивных постулатов.

    В.И. Маркин доказал метатеоремы о том, что переводы φ1 и φ2 погружают силлогистические системы С1+ и С3+ соответственно в классическое исчисление предикатов [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 115‒122].

  • Bibliography

  • Бежанишвили М.Н., Мчедлишвили Л.И. Позитивная силлогистика и логика предикатов // Логика Аристотеля. Тбилиси, 1985.
  • Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.
  • Мчедлишвили Л.И. Ассерторическая силлогистика Аристотеля и логика одноместных предикатов // Методы логических исследований. Тбилиси, 1987.
  • Мчедлишвили Л.И. Позитивная ассерторическая силлогистика и логика одноместных предикатов // Логика и системные методы анализа научного знания. М., 1986.
  • Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем С1 и СЗ формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 4. М., 1997.
  • Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, 1980.