Современные аксиоматизации чистых позитивных силлогистик

share the uri
  • Современные аксиоматизации чистых позитивных силлогистик

    Возрождение интереса к силлогистике на современном этапе развития логики связано с фундаментальной работой Я. Лукасевича [Лукасевич, 1959], который построил на базе классического исчисления высказываний аксиоматическую систему, формализующую традиционный вариант чистой позитивной силлогистики.

    Атомарными формулами языка данного исчисления являются выражения видов SaP, SiP, SeP и SoP, где S и P – произвольные общие термины. Сложные формулы образуются, как в пропозициональном языке, с помощью пропозициональных связок отрицания (¬), конъюнкции (), дизъюнкции (), импликации () и эквиваленции (). В число аксиом своей системы Лукасевич включил аксиомы классического исчисления высказываний, а также специфические силлогистические аксиомы следующих видов:

    Т1. (MaP SaM) SaP,

    Т2. (MaP MiS) SiP,

    Т3. SaS,

    Т4. SiS,

    Т5. SeP ¬SiP,

    Т6. SoP ¬SaP.

    Единственным правилом вывода в силлогистическом исчислении Лукасевича является modus ponens. Понятие доказательства и теоремы обычные.

    В этом исчислении формы правильных силлогистических умозаключений представляются в виде доказуемых формул (теорем) импликативного вида, где антецедентом является посылка (если она единственная) или конъюнкция посылок (если их несколько), а консеквентом – заключение. Например, Т1 – это аналог модуса Barbara I фигуры, а Т2 – аналог модуса Datisi III фигуры. Схемы Т3 и Т4 – законы силлогистического тождества, а Т5 и Т6 – законы диагоналей логического квадрата. Все законы чистого позитивного фрагмента традиционной силлогистики, а также аналоги всех корректных умозаключений этой теории доказуемы в силлогистическом исчислении Лукасевича.

    В данном формальном языке был построен ряд аксиоматических систем, которые отличаются от системы Лукасевича классами доказуемых в них силлогистических формул. Особый интерес представляет силлогистическое исчисление Е. Слупецкого, в котором доказуемы аналоги всех правил традиционной силлогистики, но не доказуемы законы силлогистического тождества. Система Слупецкого дедуктивно эквивалентна исчислению С1 В.А. Смирнова [Смирнов, 1980], которая содержит следующие схемы аксиом:

    А0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

    А1. (MaP SaM) SaP (Barbara);

    А2. (MeP SaM) SeP (Celarent);

    А3. SeP PeS (закон e-обращения);

    А4. SaP SiP (закон подчинения);

    А5. SeP ¬SiP;

    А6. SoP ¬SaP (законы диагоналей логического квадрата)

    и правило modus ponens.

    В.А. Смирнов сформулировал еще три силлогистических исчисления, которые являются расширениями системы С1 [Смирнов, 1980].

    Исчисление С2 получается за счет добавления к дедуктивным постулатам С1 следующей схемы аксиом:

    А7. SiP SaS.

    Данная схема представляет собой ослабление закона силлогистического тождества SaS. Ни SaS, ни SiS в С2 не доказуемы. Семантический смысл А7 состоит в следующем: в истинных частноутвердительных высказываниях субъект непуст. Из А3 и А7 несложно получить теорему SaP SaS, содержащую информацию о непустоте субъекта и в истинных общеутвердительных высказываниях. Таким образом, законы С2 соответствуют оккамовской семантике категорических высказываний, поэтому данное исчисление (а не систему Лукасевича) естественно рассматривать как формализацию ассерторической силлогистики Аристотеля.

    Исчисление С3 В.А. Смирнова получается за счет присоединения к С1 схемы аксиом:

    А8. SiS.

    В С3 закон силлогистического тождества доказуем для частноутвердительных, но не доказуем для общеутвердительных высказываний.

    Если к С1 добавляются обе схемы – А7 и А8, получается исчисление С4 В.А. Смирнова, дедуктивно эквивалентное силлогистике Лукасевича.

    В рамках данного подхода предложены формализации других имевших место в истории логики силлогистик. Чистый позитивный фрагмент фундаментальной силлогистики был впервые аксиоматизирован Дж. Шефердсоном [Shepherdson, 1956]. Эквивалентная система СФ, сформулированная В.И. Маркиным [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 66‒67], содержит следующие дедуктивные постулаты – схемы аксиом:

    Ф0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

    Ф1. (MaP SaM) SaP;

    Ф2. (MeP SaM) SeP;

    Ф3. SeP PeS;

    Ф4. SaS;

    Ф5. SiP SiS;

    Ф6. SoP SiS;

    Ф7. SeP ¬SiP;

    Ф8. SoP ¬SaP

    и правило вывода modus ponens.

    СФ является подсистемой С4 (последняя получается присоединением к СФ схемы SaP SiP), но не является подсистемой исчислений С1 – С3, которые, в свою очередь, содержат теоремы, недоказуемые в СФ.

    Аксиоматическая реконструкция позитивного силлогистического фрагмента логики Б. Больцано была предложена В.И. Маркиным [см.: Бочаров, Маркин, 2010, с. 77]. Постулатами исчисления СБ, формализующего эту логическую теорию, являются схемы аксиом:

    Б0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;

    Б1. (MaP SaM) SaP;

    Б2. (MeP SaM) SeP;

    Б3. SiP PiS;

    Б4. SaP SiP;

    Б5. SiP SaS;

    Б6. SeP (¬SiP SiS);

    Б7. SoP (¬SaP SiS)

    и правило modus ponens.

  • Bibliography

  • Shepherdson J.C. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // Journal of Symbolic Logic. 1956. Vol. 21. No. 2. P. 137‒147.
  • Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М., 2010.
  • Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.
  • Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, 1980.